Уравнение плоской и сферической волн.

 

Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся частицы от ее кординат , , и времени : .

Эта функция должна быть периодической относительно времени, т.к. она описывает колебания частицы с координатами , , , и периодическая относительно координат, т.к. точки среды, отстоящие друг от друга

на длину волны , колеблются одинаковым образом.

Найдём вид функции для плоской волны, для гармонических колебаний, распространяющихся вдоль оси .Волновые поверхности здесь перпендикулярны оси , и смещение будет зависить только от и . Уравнение колебаний точек в плоскости имеет вид:

Рис.8,2

 

Найдем уравнение колебания для точки с произвольным , дойти до которой волне требуется время . Значит колебания частиц в плоскости будут отставать во времени на от колебаний в плоскости :

* - уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси со скоростъю ,

величина - фаза волны, начальная фаза определяется выбором начала отсчёта и , для одной волны обычно принимают .

Зафиксировав определенное значение фазы , можно найти связь между коорлинатой и временем для которых , а величина при этом даёт значение скорости, с которой перемещяется это значение фазы т.е., можно проследить движение определенной фазы волны. Взяв дифференциал от , получим: и .

Таким образом, скорость распространения волны в уравнении (*) есть скорость перемещения фазы, поэтому ее называют фазовой скоростъю волны.

Уравнение (*) описывает волны, распространяющиеся в сторону возрастания . Волна обратная имеет вид: .

Уравнению волны можно придать более симметричный вид относительно и , если ввести понятие волнового числа

и волнового вектора , где - нормаль к волновому фронту. Умножив числитель и знаменатель на , получим: . Тогда, и уравнение волны:

.

Теперь найдем уравнение сферической волны для точечного источника. Все точки сферической волновой поверхности волны в однородной и изотропной среде будут колебаться с одинаковой фазой. Если фаза источника , то фаза точек волновой поверхности радиуса равна . Амплитуда колебаний сферической волны будет убывающей, даже если нет затухания и убывает по закону . Тогда уравнение сферической волны: . Для поглощающей среды появится дополнительный множитель .

Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении имеет вид: .

 

Волновое уравнение

 

Уравнение волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым.

Для его установления найдем вторые частные производные по времени и координатам от уравнения волны. (1)

 

(2), известно, что

Аналогичные уравнения (3) и (4) можно записать для координат и .

Сложив производные по координатам, получим:

(5)

 

Величина обозначается знаком и называется оператором Лапласа (лапласиан). Сопоставив уравнения (1) и (5), получим:

или (6) – волновое уравнение.

 

Любая функция, удовлетворяющая уравнению (6), описывает некоторую волну, при этом корень квадратный из величины обратной коэффициенту при второй производной по времени дает фазовую скорость волны.

 

Энергия волны.

Упругая среда, в которой распространяются механические волны, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц, так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией среды при движении волны.

Кинетическая энергия малого объема среды с плотностью , в котором все частицы движутся с одинаковой скоростью равна:

, а объемная плотность энергии .

Потенциальная энергия малого объема упруго – деформированной среды:

, где - фазовая скорость волны в среде, - относительная деформация среды. Объемная плотность потенциальной энергии:

Сумма дает объемную плотность энергии упругих волн, т.е., объемную плотность механической энергии среды, обусловленную распространением волн, равную:

(*) для определенной координаты и времени.

Если в среде распространяется продольная плоская волна вдоль оси , , то скорость колебаний частиц малого объема:

. А деформация этого объема:

.

 

Подставим в уравнение (*) и и учтем, что , получим:

- плоская волна.

Таким образом, объемная плотность энегрии волны зависит как от координаты, так и от времени. В каждый момент времени она разная в разных точках среды. В одной и той же точке она изменяется со временем по закону . Т.к., среднее значение равно ½, то среднее по времени значение энергии в каждой точке среды:

т.е., пропорционально плотности среды, квадрату амплитуды и частоты.

 

Рис.8,3 а)

Рис.8,3б