Уравнение движения центра масс.

Основной закон динамики можно записать в иной форме, зная понятие центра масс системы:

Это есть уравнение движения центра масс системы, одно из важнейших уравнений механики. Оно утверждает, что центр масс любой системы частиц движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы.

Ускорение центра масс системы совершенно не зависит от точек приложения внешних сил.

Если , то , значит и — это случай замкнутой системы в инерциальной системе отсчета. Таким образом, если центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, это означает, что её импульс сохраняется в процессе движения.

Пример: однородный цилиндр массы и радиуса скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти уравнение движения?

 

Совместное решение дает значение параметров

Уравнение движения центра масс совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его обобщением на систему частиц: ускорение системы как целого пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально массе системы.

Систему отсчета, жестко связанную с центром масс, которая движется поступательно относительно ИСО называют системой центра масс. Ее особенностью является то, что полный импульс системы частиц в ней всегда равен нулю, так, как .

 

Работа и энергия

Работа

Пусть частица М под действием силы совершает перемещение по некоторой траектории 1-2. Сила, в общем случае, может меняться во времени по модулю и направлению, но на элементарном перемещении её можно считать .

Действие силы на перемещении характеризуется физической величиной, равной скалярному произведению , которая называется элементарной работой силы на перемещении . Её можно записать как , где — угол между и - элементарный путь проекция вектора на вектор , или на направление s.

Значит, элементарная работа (*)

- величина алгебраическая, она может быть , или , а также равна нулю при .

Суммируя элементарные работы (т.е., интегрируя) по всем элементарным участкам пути от 1 к 2 найдем работу силы на данном пути.

.

Геометрический смысл этого выражения виден из рисунка, на котором - площадь полоски шириной и высотой ; - площадь под всей кривой. Над осью работа силы положительна, под осью — отрицательна.

Размерность работы .

Найдем для примера работу некоторых центральных сил.

1. Работа гравитационной или кулоновской силы.

Пусть в точке О находится неподвижная материальная точка, действующая на частицу М с силой ; —орт радиуса- вектора , a -постоянная, равная -jm₁m₂ для гравитационной и kq₁q₂ для кулоновской силы. Элементарная работа этой силы на перемещении : ; Скалярное произведение — приращение модуля вектора ;

Тогда , а работа на всем пути: .

2. Работа упругой силы

— радиус- вектор частицы М относительно точки О. Элементарная работа в этом случае ;Здесь -проекция вектора на вектор . Она равна приращению модуля вектора на перемещении . Работа на всем пути .

3. Работа силы тяжести Элементарная работа силы тяжести: ; Скалярное произведение — приращение координаты . Тогда
; А работа на пути 1-2 равна .

Работа всех рассмотренных сил не зависит от формы пути между точками 1 и 2, а зависит только от положения этих точек. Эта особенность присуща не всем силам. Силы трения, например, не обладают таким свойством.

 

4.2 Мощность по определению это работа, выполненная за единицу времени. Если за промежуток времени сила совершает работу , то мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени т.е. скалярное произведение на вектор скорости , с которой движется точка приложения данной силы: .

— как и работа, величина алгебраическая.

Зная можно найти работу, которую совершает сила за конечное время : , поскольку , то , тогда:

Единица мощности в системе СИ .

 

Консервативные силы

Если в каждой точке пространства на частицу, помещенную туда, действует сила, говорят, что частица находится в поле сил, например в поле сил тяжести, гравитационной, кулоновской и других сил. Поле сил может быть постоянным во времени, тогда оно называется стационарным. Стационарное поле в одной системе отсчета, может быть нестационарным в другой. В стационарном поле сила, действующая на частицу, зависит только от её положения в пространстве.

Работа, которую совершают силы поля по перемещению частицы из т.1 в т.2 зависит, в общем случае, от формы пути между этими точками, например, при перемещении с участием сил трения. Однако, имеются стационарные силовые поля, в которых работа сил поля над частицей не зависит от пути между т.1 и т.2. Силы, обладающие таким свойством называются консевативными. Это свойство можно сформулировать другим способом: силы поля являются консервативными, если их работа в стационарном поле на любом замкнутом пути равна нулю.

Разобъем произвольный замкнутый контур на две части: 1а2 и 2в1, рис. Тогда работа на всем пути:

, поскольку , то . А так как работа не зависит от пути, то и, значит, .

К неконсервативным силам относятся силы трения и сопротивления. Работа этих сил зависит от пути между начальным и конечным положением частицы и не равна нулю на замкнутом пути.

Центральные силы.

Всякое силовое поле вызвано действием определенного тела или системы тел. Сила, действующая на частицу в этом поле обусловлена взаимодействием этой частицы с телами.

Если силы зависят только от расстояния между взаимодействующими частицами и направлены вдоль прямой их соединяющей, то они называются центральными. Их примером являются гравитационные, кулоновские и упругие силы. Центральные силы можно записать как

, здесь является функцией только расстояния , - орт, задающий направление радиуса - вектора частицы относительно частицы О.

Докажем, что центральные силы являются консервативными. Найдем сначала работу центральной силы в случае, когда силовое поле создано одной неподвижной частицей О. Элементарная работа над частицей М равна:

; поскольку - проекция вектора перемещения на вектор или на радиус-вектор . Другими словами, - приращение радиуса-вектора . Тогда вся работа . Этот интеграл не зависит от формы пути, а зависит только от вида функции и от пределов интегрирования и т.е. от расстояний.

Если на частицу в силовом поле действует несколько центральных сил, то работа при перемещении из т.1 в т. 2 равна алгебраической сумме работ отдельных сил , а, т.к., работа каждой из них не зависит от пути, то и работа результирующей силы также от пути не зависит.

Таким образом, центральные силы являются консервативными.