Исследование формы поверхности второго порядка методом сечения плоскостями

 

Если дано каноническое уравнение поверхности S, то представление о поверхности можно получить по форме линий пересечения ее плоскостями:

Z = h — параллельными координатной плоскости XO ' Y,

X = h — параллельными координатной плоскости YO ' Z,

Y = h — параллельными координатной плоскости XO ' Z.

Уравнения проекций линий пересечения поверхности S c этими плоскостями на соответствующие координатные плоскости получаются в результате подстановки в каноническое уравнение поверхности S Z = h, X = h, Y = h соответственно.

 

Исследование поверхности второго порядка

 

Дано уравнение поверхности второго порядка:

S:

Приведение уравнения поверхности к каноническому виду

Положим:

 

.(4.1)

 

Уравнение (4.1) каноническое.

 

Исследование формы поверхности методом сечений плоскостями

 

Каноническое уравнение поверхности (4.1) задает однополостный гиперболоид.

1. Рассмотрим линии полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Z = h (h = const). Эти линии определяются системой уравнений:

 

(4.2)

 

Следовательно, — уравнение проекций линий на плоскость XO ' Y.

Запишем полученное уравнение в виде:

 

(4.3)

 

Уравнение (4.3) определяет семейство эллипсов с центром в точках и вершинами в точках и . Действительные оси эллипсов параллельны осям O'X и O ' Y.

Полуоси эллипсов: и увеличиваются с увеличением h.

При различных значениях h получим семейство соответствующих эллипсов:

Если h < 0, то уравнение (4.3)не меняет вида.

Используя полученные данные, построим «карту» (см. рис.8).

 

Рис. 8. Сечения плоскостями, параллельными XO ' Y

 

Рассмотрим линии полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Y = h. Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнение проекций линий на плоскость YO ' Z имеет вид:

 

(4.4)

 

Запишем уравнение (4.4) в виде:

 

(4.5)

 

Уравнение (4.5) определяет семейство гипербол в плоскостях Y = h (h — любое действительное число) с фокусами в точках и , полуосями и .

При получим семейство соответствующих гипербол:

При уравнение (4.4) определяет две пересекающиеся прямые.

При запишем:

 

(4.6)

 

Уравнение (4.6) определяет семейство гипербол, которые повёрнуты на относительно осей координат.

 

Используя полученные данные, построим «карту» (см. рис.9).

 

Рис. 9. Сечения плоскостями, параллельными XO ' Z

 

Рассмотрим линии , полученные в сечениях однополостного гиперболоида плоскостями Z = h. Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость YO ' Z имеют вид

 

(4.7)

 

Запишем уравнение (4.5) в виде:

 

(4.8)

Уравнения (4.8) — это уравнения гипербол в плоскостях (h — любое действительное число), с фокусами в точках и , полуосями и .

При получим семейство соответствующих гипербол:

При уравнение (4.7) определяет две пересекающиеся прямые.

При запишем уравнение (4.7) в виде:

Уравнение (4.6) определяет семейство гипербол, которые повёрнуты на относительно осей координат.

Используя полученные данные, построим «карту» (см. рис.10).

 

Рис. 10. Сечения плоскостями, параллельными YO'Z

 

Проанализировав уравнение и результаты исследования методом сечений плоскостями, отметим следующее:

1. уравнение задаёт однополостный гиперболоид.

2. оси O'X, O'Y, O'Z являются осями симметрии поверхности, плоскости O'XZ, O'YZ, O ' XZ — плоскостями симметрии. Центром симметрии у поверхности является точка O(0,0,0);

3. рассекая поверхность горизонтальными плоскостями Z = h, в сечениях получаем эллипсы.

4. рассекая поверхность вертикальными плоскостями X = h и Y = h (h – любое действительное число), в сечениях получаем гиперболы.

Поверхность однополостного гиперболоида бесконечна в направлении всех трех координатных осей. Построим её в канонической системе координат (см. рис. 11).

Построение поверхности в канонической системе координат

Рис. 11. Поверхность в канонической системе координат

Вывод

 

Таким образом, из вышеприведенного анализа следует, что, тип кривой второго порядка, заданной алгебраической формой, можно легко определить с помощью поворота осей и параллельного переноса начала координат. Так же из анализа следует, что зная знаки инвариантов, можно полностью определить тип линии второго порядка при различных значениях β, что мы и делаем. Четвёртая часть работы наглядно показывает, что исследование формы поверхности методом сечений плоскостями даёт хорошее представление о поверхности, которую мы исследуем. Данный способ исследования можно применять даже не зная, какая именно поверхность задана уравнением.

Список используемой литературы

1. Бобылева Л. В., Брюхина Л. С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Исследование кривых и поверхностей второго порядка: Учебно-методическое пособие — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2003.

2. Копылова Т. В. Аналитическая геометрия. — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1997

 

Размещено на Allbest.ru