Уравнение поверхности и линии в пространстве

1) Основные понятия

Поверхность в пространстве, как правило можно рассматривать как геометрическое место точек удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в т.О₁.есть геометрическое место точек удаленных от т. О₁ на расстояние R. Прямоугольная система координат Oxyz позволяет однозначно установить соответствие между точками пространства и тройками чисел x,y,z- их координатами. Свойства, общие всем точкам, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности. Уравнение данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называют уравнением вида F(x,y,z)=0, с тремя переменными x,y,z которому удовлетворяют координаты каждой точки лежащей на поверхности и не удовлетворяют координаты точек не лежащие на поверхности.

2) Уравнение линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей или как геометрическое место точек общих двум поверхностям. Если F₁(x,y,z)=0 и F₂(x,y,z) уравнения двух поверхностей, то координаты линии их пересечения (L) должно удовлетворять системе двух уравнений с тремя неизвестными

-это уравнение линии в пространстве.

Линию в пространстве можно рассматривать и как траекторию движения точки. В этом случае ее задают векторным уравнением r=r(t) или параметрическим уравнениями.

-проекции вектора r на оси координат.

 

3) Уравнение прямой в пространстве

1. Векторное уравнение прямой

Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку M₀ на прямой и вектор параллельный этой прямой. Вектор - называется направляющим вектором прямой. Пусть прямая L задана ее точкой M₀(x₀,y₀,z₀) и направляющим вектором (m,n,p). Возьмем на прямой L произвольную точку M(x,y,z). Обозначим радиус –

r

M

M0

L

x

y

векторы точек M₀ и M соответственно через и . Очевидно, что = + . Вектор М, лежащий на прямой L параллелен направляющему вектору , поэтому M=t , где t- скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в зависимости от положения точки M на прямой (рис.1.). Тогда уравнение можно записать в виде = +t - векторное уравнение прямой.

2. Параметрическое уравнение прямой

Поскольку =(x,y,z), =(x₀,y₀,z₀), t =(t_m,t_n,t_p), то уравнение прямой можно записать в виде:

. Отсюда - параметрическое уравнение прямой в пространстве.

 

Рис.1.

3. Каноническое уравнение прямой

исключая из параметрического уравнения прямой t получим:

- каноническое уравнение прямой.

4. Уравнение прямой проходящей через две точки

Пусть прямая L проходит через точки M₁(x₁,y₁,z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂). В качестве направляющего вектора можно взять , т.е. = , следовательно, m=x₂-x₁, n=y₂-y₁, p=z₂-z₁. поскольку наша прямая проходит через т.M₁(x,y,z) то каноническое уравнение примет вид:

- уравнение прямой проходящей через две точки.

5. Угол между прямыми

Пусть L₁ и L₂ заданы уравнениями

. Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами ₁(m₁,n_1,p₁) и ₂(m₂,n₂,p₂).Поэтому по известной формуле для косинуса угла между векторами получим или

Если L₁ перпендикулярна L₂, то в этом случае cosφ=0, следовательно

 

Если L₁ || L₂, то векторы ₁ || ₂ и координаты векторов ₁ и ₂ пропорциональны:

.

 

4) Уравнение плоскости в пространстве.

 

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве Oxyz можно задать различными способами и каждому из них соответствует конкретное уравнение.

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору.

Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой M₀(x₀,y₀,z₀) и вектором =(A,B,C) перпендикулярным этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и составим вектор . Так как перпендикулярен Q, то вектор перпендикулярен вектору , поэтому их скалярное произведение , т.е.

(1)

-это уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярную вектору . Вектор n=(A,B,C) называется нормальным вектором плоскости. Придавая коэффициентам A,B,C различные значения можно получить уравнения любых плоскостей проходящих через т.M₀.

2. Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными x,y и z.

(2)

Полагая, что по крайней мере, один из коэффициентов A,B или C≠0, например B≠0, перепишем его в виде:

Сравнивая полученное уравнение с ранее полученным (1) видим, что последнее является уравнением плоскости с нормальным вектором =(A,B,C), проходящее через точку . Итак уравнение (2) определяет в пространстве Oxyz некоторую плоскость. Это уравнение и называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи:

а) Если D=0, то . Этому уравнению отвечает т.O(0,0,0)-начало координат. Следовательно, эта плоскость проходит через начало координат;

б) Если C=0, имеем , вектор (A,B,0) перпендикулярен оси Oz. Следовательно, плоскость параллельна Oz; B=0, то || оси Oy; A=0, то || оси Ox.

в) Если C=D=0, то плоскость проходит через т.O(0,0,0) и || Oz, то есть проходит через ось Oz;

г) Если A=B=0, то Cz+D=0, то есть Z= , плоскость || плоскости Oxy;

д) Если A=B=D=0, то Cz=0, то есть Z=0, это уравнение плоскости Oxy.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Три точки в пространстве не лежащие на одной прямой определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q,проходящей через три данных точки M₁(x₁,y₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂) и M₃(x₃,y₃,z₃), не лежащие на одной прямой. Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и составим векторы ; и . Эти векторы компланарны. Используя условия компланарности трех векторов (их смешанное произведение=0) получим:

т.е.

(1)

-это уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через три точки.

4. Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает на осях Ox, Oy и Oz соответственно отрезки ,b,c. То есть она проходит через три точки A(,0,0),B(0,b0) и C(0,0,c). Подставляя в уравнение (1) получим:

 

=0. Раскрыв определитель имеем:

или -уравнение плоскости в отрезках на осях.

5. Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости Q можно определить заданием единичного вектора , совпадающего с направлением OK – перпендикуляром, опущенным из начала координат на плоскость и длинной этого перпендикуляра (рис.2)

Рис.2.

M

k

x

y

Пусть OK=P, а α, β и γ-углы, образованные вектором с осями Ox, Oy и Oz. Тогда = . Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор

= =(x,y,z). При любом положении

точки M на плоскости Q проекция вектора на направление вектора всегда равно p.

т.е. или - это нормальное уравнение плоскости. Зная координаты r и e можно его переписать в следующей форме:

6. Угол между двумя плоскостями

пусть заданы две плоскости Q₁ и Q₂:

Под углом между плоскостями понимают один из двугранных углов образованных этими плоскостями. Угол φ между нормальными векторами (A₁,B₁,C₁) и (A₂,B₂,C₂) плоскостей Q₁ Q₂ равен одному из этих углов. Поэтому или . Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части. Если Q₁ перпендикулярен Q₂, то вектор перпендикулярен вектору , тогда вектор =0, то есть .

полученное равенство есть условие перпендикулярности Q₁ и Q₂. Если Q₁ || Q₂, то || , тогда координаты векторов пропорциональны, то есть - это условие параллельности Q₁ и Q₂.

7. Расстояние от точки до плоскости.

z

Пусть дана точка M₀(x₀,y₀,z₀) и плоскость Q с уравнением . Найдем d- расстояние от точки до плоскости. Расстояние d от точки M₀ до плоскости Q равно модулю проекции вектора M₁M₀ (Рис.3), где M₁(x₁,y₁,z₁)- произвольная точка плоскости Q на направление нормального вектора =(A,B,C). Следовательно =

 

 

M0

Q

=

d

Так как т.M₁ принадлежит Q, то

M1

y

,и , тогда уравнение примет вид:

X

Рис.3 .

8 .Угол между прямой и плоскостью

Пусть плоскость задана уравнением , а прямая L уравнением

L

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость.

Рис.4

Пусть φ- угол между Q и L, а - угол между =(A,B,C) и =(m,n,p) (Рис.4). Тогда

,а и так как Sinφ≥0 получим:

-искомый результат.

Если L || Q, то , поэтому =0, то есть является условием параллельности L и Q.

Если L Q, то и ||, поэтому -условия перпендикулярности L и Q.

9. Пересечение прямой с плоскостью

Найти точку пересечения прямой с плоскостью .

 

Для этого надо решить систему этих уравнений. Проще всего это сделать если записать уравнение прямой в параметрической форме:

Подставляя эти значения в уравнение плоскости получим или , если L не || Q, то есть если , то получим , подставляя t в записанные выше уравнение прямой в параметрической форме координат, получим их значения в точке пересечения L и Q.

Поверхности второго порядка

1) Цилиндрические поверхности.

Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление, и пересекает каждый раз некоторую кривую K, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. При этом кривая K- называется направляющей, а L – образующей цилиндра. Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а бразующие || координатной оси, то есть перпендикулярно этой плоскости. Пусть в Oxy лежит линия K, а ее уравнение F(x,y)=0. Построим цилиндр с образующими || оси Oz и направляющей K.

 

Рис.1.

. M (x,y,z)

L

N

K

x

z

y

Возьмем на цилиндре любую точку M(x,y,z). Она лежит на какой-то образующей. Пусть т.N- точка пересечения этой образующей с плоскостью Oxy. Следовательно, точка N лежит на кривой K, и ее координаты удовлетворяют уравнению линии K. Но точка M имеет такие же абсциссу x и ординату y, что и точка N.

Следовательно, этому уравнению удовлетворяют и координаты точки M(x,y,z), так как оно не содержит Z. Так как M- любая точка цилиндра то уравнение F(x,y)=0, и будут уравнения цилиндра с образующими || оси Oz. В случае если образующая || оси Oy F(x,y)=0, если образующая || оси Ox; F(y,z)=0.

Название цилиндра определяется формой направляющей. Если направляющей служит эллипс, в плоскости Oxy, то цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром частный случай эллипса- окружность дает круговой цилиндр и т.д. все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, т.к. их уравнения есть уравнения второй степени.

2) Поверхности вращения. Конические поверхности.

Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнения этой кривой запишут в виде:

(1)

 

Рис.2.

O1(0,0,z1)

y

L

N (0,y1,z1)

M (x,y,z)

Найдем уравнение поверхности образованное вращением кривой L вокруг оси Oz. Для этого возьмем на поверхности произвольную т.M(x,y,z). Проведем через M плоскость перпендикулярную оси Oz. Обозначим точки пересечения ее с осью Oz и кривой L соответственно O₁ и N. Тогда O₁(0,0,z), а N(0, ,z₁). Отрезки O₁M и O₁N являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому O₁M=O₁N, но

а тогда или , кроме того Z₁=Z.

Так как точка N лежит на кривой L, то ее координаты удовлетворяют уравнениям (1). Стало быть, F(y₁,z₁)=0,исключая вспомогательные координаты y₁ и z₁ придем к соотношению

- это искомое уравнение.

Это уравнение - поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точки M этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек не лежащих на поверхности вращения.

Если кривая вращается вокруг других осей Ox и Oy, то уравнение будет носить аналогичный характер соответственно и . Так, например, вращая прямую y=z вокруг оси Oz получим поверхность вращения описываемую уравнением или - это конус второго порядка

Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку p и пересекающими данную плоскую линию L(не проходящую через p) называются конической поверхностью или конусом. При этом L- направляющая конуса p- ее вершина, а прямая описывающая поверхность называется образующей.

Пусть направляющая L задана уравнениями:

 

L

А точка P(x₀,y₀,z₀) -вершина конуса. Найдем уравнение конуса.

Рис.3.

M(x,y,z)

N(x1,y1,z1)

P(x0,y0,z0)

Возьмем на поверхности конуса произвольную точку M(z,y,z)(рис.3). Образующая, проходящая через точки P и M, пересекает направляющую L в некоторой точке N(x₁,y₁,z₁) координаты точки N удовлетворяют выше записанным соотношениям, следовательно:

А канонические уравнения образующих проходящих через т.P и т. N имеют вид.

Исключая из этих уравнений , и получим уравнение конической поверхности связывающее текущие координаты x, y и z.

Пример: составить уравнение конуса с вершиной в т.О(0,0,0).Если направляющая - эллипс

, лежащий в плоскости Z₁=с.

Решение: Каноническое уравнение образующих, проходящих через т.О(0,0,0) и т.N(x₁,y₁,z₁), полученную при пересечении образующей OM с эллипсом, будет учитывая, что Z₁=с, получим: , откуда ; Подставляя значения x₁ и y₁ в уравнение эллипса, с учетом того, что N(x₁,y₁,z₁) лежит на эллипсе, можно получить , подставляя сюда ранее полученное значения x₁ и y₁ получим или окончательно - это и есть уравнение конуса.

3) Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

По заданному уравнению поверхности второго порядка(те поверхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением второго порядка) будем определять ее геометрическим вид. Для этого применим так называемый метод сечений: исследование вида поверхности будем производить при помощи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями им параллельными.

а) Эллипсоид

Исследуем поверхность, заданную уравнением:

Рассмотрим сечения поверхности описываемой этим уравнением с плоскостями || плоскости Oxy. Уравнения этих плоскостей Z=h, где h- любое число. Линия, получаемая в сечении, будет определяться двумя уравнениями:

(1)

Исследуем это уравнение.

а) Если |h|>c, c>0, то . Точек пересечения нашей поверхности с плоскостями Z=h не существует;

б) Если |h|<c, то уравнения (1) можно записать в виде: =1

т.е. линия пересечения есть эллипс с полуосями:

;

 

 

При этом, чем меньше |h|, тем больше полуоси ₁ и b₁, при h=0 они достигают своих max значений ₁= , b₁=b. Уравнение примет вид:

 

с

z

 

Рис.4.

b

x

y

c

Аналогичные результаты получим, если рассмотрим сечение поверхности плоскостями x=h и y=h. Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить рассмотренную поверхность как замкнутую овальную поверхность, называемую эллипсоидом (Рис.4.). Величины ,b,c- называются полуосями

эллипсоида, если ≠ b≠ c, то эллипсоид называется трехосным. Если какие-либо две равны, то получается эллипсоид вращения. Если =b=c, то получим сферу - .

б ) Однополостный гиперболоид.

Исследуем поверхность, заданную уравнением:

=1

Пересекая эту поверхность плоскостью Z=h, получим линию пересечения, уравнение которой имеет вид:

 

или

 

Как видно, этой линий является эллипс с полуосями:

 

и

h

Полуоси ₁ и b₁ достигают min при h=0, ₁= и b₁=b. При возрастании |h| ₁ и b₁ будут возрастать.

a1

a

b1

b

y

Если пересекать эту поверхность плоскостями x=h и y=h, то в сечении получим гиперболы. Найдем, например, линию пересечения нашей поверхности с полуосью Oyz, уравнение которой x=0. Подставляя, получим:

Рис.5.

x

-это гипербола

 

Анализ сечений показывает, что поверхность, определяемая нашим уравнением, имеют форму бесконечно расширяемой трубки. Эта поверхность называется однополостным гиперболоидом (рис.5.).

с ) Двухполосной гиперболоид

Пусть поверхность задана уравнением:

Если эту поверхность пересечь плоскостью Z=h, получим линию пересечения, описываемую уравнениями:

Отсюда следует, что:

а) если |h|<c, то Z=h не пересекает поверхность;

б) если |h|=с, то плоскости Z=c касаются данной поверхности в точках (0,0,c) и (0,0,-c);

в) если |h|>c, то уравнения можно записать так:

- эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|.

z

Пересекая поверхность координатными плоскостями Oyz(x=0) и Oxz(y=0), получим в сечении гиперболы, уравнения которых соответственно: