Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Уравнение поверхности и линии в пространстве

Поиск

1) Основные понятия

Поверхность в пространстве, как правило можно рассматривать как геометрическое место точек удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в т.О1.есть геометрическое место точек удаленных от т. О1 на расстояние R. Прямоугольная система координат Oxyz позволяет однозначно установить соответствие между точками пространства и тройками чисел x,y,z- их координатами. Свойства, общие всем точкам, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности. Уравнение данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называют уравнением вида F(x,y,z)=0, с тремя переменными x,y,z которому удовлетворяют координаты каждой точки лежащей на поверхности и не удовлетворяют координаты точек не лежащие на поверхности.

2) Уравнение линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей или как геометрическое место точек общих двум поверхностям. Если F1(x,y,z)=0 и F2(x,y,z) уравнения двух поверхностей, то координаты линии их пересечения (L) должно удовлетворять системе двух уравнений с тремя неизвестными

-это уравнение линии в пространстве.

Линию в пространстве можно рассматривать и как траекторию движения точки. В этом случае ее задают векторным уравнением r=r(t) или параметрическим уравнениями.

-проекции вектора r на оси координат.

 

3) Уравнение прямой в пространстве

1. Векторное уравнение прямой

Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку M0 на прямой и вектор параллельный этой прямой. Вектор - называется направляющим вектором прямой. Пусть прямая L задана ее точкой M0(x0,y0,z0) и направляющим вектором (m,n,p). Возьмем на прямой L произвольную точку M(x,y,z). Обозначим радиус –

r
M
M0
L
x
y
векторы точек M0 и M соответственно через и . Очевидно, что = + . Вектор М, лежащий на прямой L параллелен направляющему вектору , поэтому M=t , где t- скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в зависимости от положения точки M на прямой (рис.1.). Тогда уравнение можно записать в виде = +t - векторное уравнение прямой.

2. Параметрическое уравнение прямой

Поскольку =(x,y,z), =(x0,y0,z0), t =(tm,tn,tp), то уравнение прямой можно записать в виде:

. Отсюда - параметрическое уравнение прямой в пространстве.

 

Рис.1.
3. Каноническое уравнение прямой

исключая из параметрического уравнения прямой t получим:

- каноническое уравнение прямой.

4. Уравнение прямой проходящей через две точки

Пусть прямая L проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2). В качестве направляющего вектора можно взять , т.е. = , следовательно, m=x2-x1, n=y2-y1, p=z2-z1. поскольку наша прямая проходит через т.M1(x,y,z) то каноническое уравнение примет вид:

- уравнение прямой проходящей через две точки.

5. Угол между прямыми

Пусть L1 и L2 заданы уравнениями

. Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами 1(m1,n1,p1) и 2(m2,n2,p2).Поэтому по известной формуле для косинуса угла между векторами получим или

Если L1 перпендикулярна L2, то в этом случае cosφ=0, следовательно

 

Если L1 || L2, то векторы 1 || 2 и координаты векторов 1 и 2 пропорциональны:

.

 

4) Уравнение плоскости в пространстве.

 

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве Oxyz можно задать различными способами и каждому из них соответствует конкретное уравнение.

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору.

Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой M0(x0,y0,z0) и вектором =(A,B,C) перпендикулярным этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и составим вектор . Так как перпендикулярен Q, то вектор перпендикулярен вектору , поэтому их скалярное произведение , т.е.

(1)

-это уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярную вектору . Вектор n=(A,B,C) называется нормальным вектором плоскости. Придавая коэффициентам A,B,C различные значения можно получить уравнения любых плоскостей проходящих через т.M0.

2. Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными x,y и z.

(2)

Полагая, что по крайней мере, один из коэффициентов A,B или C≠0, например B≠0, перепишем его в виде:

Сравнивая полученное уравнение с ранее полученным (1) видим, что последнее является уравнением плоскости с нормальным вектором =(A,B,C), проходящее через точку . Итак уравнение (2) определяет в пространстве Oxyz некоторую плоскость. Это уравнение и называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи:

а) Если D=0, то . Этому уравнению отвечает т.O(0,0,0)-начало координат. Следовательно, эта плоскость проходит через начало координат;

б) Если C=0, имеем , вектор (A,B,0) перпендикулярен оси Oz. Следовательно, плоскость параллельна Oz; B=0, то || оси Oy; A=0, то || оси Ox.

в) Если C=D=0, то плоскость проходит через т.O(0,0,0) и || Oz, то есть проходит через ось Oz;

г) Если A=B=0, то Cz+D=0, то есть Z= , плоскость || плоскости Oxy;

д) Если A=B=D=0, то Cz=0, то есть Z=0, это уравнение плоскости Oxy.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Три точки в пространстве не лежащие на одной прямой определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q,проходящей через три данных точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) и M3(x3,y3,z3), не лежащие на одной прямой. Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и составим векторы ; и . Эти векторы компланарны. Используя условия компланарности трех векторов (их смешанное произведение=0) получим:

т.е.

(1)

-это уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через три точки.

4. Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает на осях Ox, Oy и Oz соответственно отрезки ,b,c. То есть она проходит через три точки A(,0,0),B(0,b0) и C(0,0,c). Подставляя в уравнение (1) получим:

 

=0. Раскрыв определитель имеем:

или -уравнение плоскости в отрезках на осях.

5. Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости Q можно определить заданием единичного вектора , совпадающего с направлением OK – перпендикуляром, опущенным из начала координат на плоскость и длинной этого перпендикуляра (рис.2)

Рис.2.
 
M
k
x
y
Пусть OK=P, а α, β и γ-углы, образованные вектором с осями Ox, Oy и Oz. Тогда = . Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор

= =(x,y,z). При любом положении

точки M на плоскости Q проекция вектора на направление вектора всегда равно p.

т.е. или - это нормальное уравнение плоскости. Зная координаты r и e можно его переписать в следующей форме:

6. Угол между двумя плоскостями

пусть заданы две плоскости Q1 и Q2:

Под углом между плоскостями понимают один из двугранных углов образованных этими плоскостями. Угол φ между нормальными векторами (A1,B1,C1) и (A2,B2,C2) плоскостей Q1 Q2 равен одному из этих углов. Поэтому или . Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части. Если Q1 перпендикулярен Q2, то вектор перпендикулярен вектору , тогда вектор =0, то есть .

полученное равенство есть условие перпендикулярности Q1 и Q2. Если Q1 || Q2, то || , тогда координаты векторов пропорциональны, то есть - это условие параллельности Q1 и Q2.

7. Расстояние от точки до плоскости.

z
Пусть дана точка M0(x0,y0,z0) и плоскость Q с уравнением . Найдем d- расстояние от точки до плоскости. Расстояние d от точки M0 до плоскости Q равно модулю проекции вектора M1M0 (Рис.3), где M1(x1,y1,z1)- произвольная точка плоскости Q на направление нормального вектора =(A,B,C). Следовательно =

 

 

M0
Q
=

d

Так как т.M1 принадлежит Q, то

M1
y
, тогда уравнение примет вид:

X
Рис.3 .

8 .Угол между прямой и плоскостью

Пусть плоскость задана уравнением , а прямая L уравнением

L

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость.

Рис.4

Пусть φ- угол между Q и L, а - угол между =(A,B,C) и =(m,n,p) (Рис.4). Тогда

и так как Sinφ≥0 получим:

-искомый результат.

Если L || Q, то , поэтому =0, то есть является условием параллельности L и Q.

Если L Q, то и ||, поэтому -условия перпендикулярности L и Q.

9. Пересечение прямой с плоскостью

Найти точку пересечения прямой с плоскостью .

 

Для этого надо решить систему этих уравнений. Проще всего это сделать если записать уравнение прямой в параметрической форме:

Подставляя эти значения в уравнение плоскости получим или , если L не || Q, то есть если , то получим , подставляя t в записанные выше уравнение прямой в параметрической форме координат, получим их значения в точке пересечения L и Q.

Поверхности второго порядка

1) Цилиндрические поверхности.

Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление, и пересекает каждый раз некоторую кривую K, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. При этом кривая K- называется направляющей, а L – образующей цилиндра. Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а бразующие || координатной оси, то есть перпендикулярно этой плоскости. Пусть в Oxy лежит линия K, а ее уравнение F(x,y)=0. Построим цилиндр с образующими || оси Oz и направляющей K.

 

Рис.1.
. M (x,y,z)
L
N
K
x
z
y
Возьмем на цилиндре любую точку M(x,y,z). Она лежит на какой-то образующей. Пусть т.N- точка пересечения этой образующей с плоскостью Oxy. Следовательно, точка N лежит на кривой K, и ее координаты удовлетворяют уравнению линии K. Но точка M имеет такие же абсциссу x и ординату y, что и точка N.

Следовательно, этому уравнению удовлетворяют и координаты точки M(x,y,z), так как оно не содержит Z. Так как M- любая точка цилиндра то уравнение F(x,y)=0, и будут уравнения цилиндра с образующими || оси Oz. В случае если образующая || оси Oy F(x,y)=0, если образующая || оси Ox; F(y,z)=0.

Название цилиндра определяется формой направляющей. Если направляющей служит эллипс, в плоскости Oxy, то цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром частный случай эллипса- окружность дает круговой цилиндр и т.д. все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, т.к. их уравнения есть уравнения второй степени.

2) Поверхности вращения. Конические поверхности.

Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнения этой кривой запишут в виде:

(1)

 

 
 


Рис.2.
O1(0,0,z1)
y
L
N (0,y1,z1)
M (x,y,z)
Найдем уравнение поверхности образованное вращением кривой L вокруг оси Oz. Для этого возьмем на поверхности произвольную т.M(x,y,z). Проведем через M плоскость перпендикулярную оси Oz. Обозначим точки пересечения ее с осью Oz и кривой L соответственно O1 и N. Тогда O1(0,0,z), а N(0, ,z1). Отрезки O1M и O1N являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому O1M=O1N, но

а тогда или , кроме того Z1=Z.

Так как точка N лежит на кривой L, то ее координаты удовлетворяют уравнениям (1). Стало быть, F(y1,z1)=0,исключая вспомогательные координаты y1 и z1 придем к соотношению

- это искомое уравнение.

Это уравнение - поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точки M этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек не лежащих на поверхности вращения.

Если кривая вращается вокруг других осей Ox и Oy, то уравнение будет носить аналогичный характер соответственно и . Так, например, вращая прямую y=z вокруг оси Oz получим поверхность вращения описываемую уравнением или - это конус второго порядка

Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку p и пересекающими данную плоскую линию L(не проходящую через p) называются конической поверхностью или конусом. При этом L- направляющая конуса p- ее вершина, а прямая описывающая поверхность называется образующей.

Пусть направляющая L задана уравнениями:

 

L
А точка P(x0,y0,z0) -вершина конуса. Найдем уравнение конуса.

Рис.3.
M(x,y,z)
N(x1,y1,z1)
P(x0,y0,z0)
Возьмем на поверхности конуса произвольную точку M(z,y,z)(рис.3). Образующая, проходящая через точки P и M, пересекает направляющую L в некоторой точке N(x1,y1,z1) координаты точки N удовлетворяют выше записанным соотношениям, следовательно:

А канонические уравнения образующих проходящих через т.P и т. N имеют вид.

Исключая из этих уравнений , и получим уравнение конической поверхности связывающее текущие координаты x, y и z.

Пример: составить уравнение конуса с вершиной в т.О(0,0,0).Если направляющая - эллипс

, лежащий в плоскости Z1=с.

Решение: Каноническое уравнение образующих, проходящих через т.О(0,0,0) и т.N(x1,y1,z1), полученную при пересечении образующей OM с эллипсом, будет учитывая, что Z1=с, получим: , откуда ; Подставляя значения x1 и y1 в уравнение эллипса, с учетом того, что N(x1,y1,z1) лежит на эллипсе, можно получить , подставляя сюда ранее полученное значения x1 и y1 получим или окончательно - это и есть уравнение конуса.

3) Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

По заданному уравнению поверхности второго порядка(те поверхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением второго порядка) будем определять ее геометрическим вид. Для этого применим так называемый метод сечений: исследование вида поверхности будем производить при помощи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями им параллельными.

а) Эллипсоид

Исследуем поверхность, заданную уравнением:

Рассмотрим сечения поверхности описываемой этим уравнением с плоскостями || плоскости Oxy. Уравнения этих плоскостей Z=h, где h- любое число. Линия, получаемая в сечении, будет определяться двумя уравнениями:

(1)

Исследуем это уравнение.

а) Если |h|>c, c>0, то . Точек пересечения нашей поверхности с плоскостями Z=h не существует;

б) Если |h|<c, то уравнения (1) можно записать в виде: =1

т.е. линия пересечения есть эллипс с полуосями:

;

 

 

При этом, чем меньше |h|, тем больше полуоси 1 и b1, при h=0 они достигают своих max значений 1= , b1=b. Уравнение примет вид:

 

с
z

 

Рис.4.
b
x
y
c
Аналогичные результаты получим, если рассмотрим сечение поверхности плоскостями x=h и y=h. Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить рассмотренную поверхность как замкнутую овальную поверхность, называемую эллипсоидом (Рис.4.). Величины ,b,c- называются полуосями

эллипсоида, если ≠ b≠ c, то эллипсоид называется трехосным. Если какие-либо две равны, то получается эллипсоид вращения. Если =b=c, то получим сферу - .

б ) Однополостный гиперболоид.

Исследуем поверхность, заданную уравнением:

=1

Пересекая эту поверхность плоскостью Z=h, получим линию пересечения, уравнение которой имеет вид:

 

или

 

Как видно, этой линий является эллипс с полуосями:

 

и

h
Полуоси 1 и b1 достигают min при h=0, 1= и b1=b. При возрастании |h| 1 и b1 будут возрастать.

a1
a
b1
b
y
Если пересекать эту поверхность плоскостями x=h и y=h, то в сечении получим гиперболы. Найдем, например, линию пересечения нашей поверхности с полуосью Oyz, уравнение которой x=0. Подставляя, получим:

Рис.5.
x
-это гипербола

 

Анализ сечений показывает, что поверхность, определяемая нашим уравнением, имеют форму бесконечно расширяемой трубки. Эта поверхность называется однополостным гиперболоидом (рис.5.).

с ) Двухполосной гиперболоид

Пусть поверхность задана уравнением:

Если эту поверхность пересечь плоскостью Z=h, получим линию пересечения, описываемую уравнениями:

Отсюда следует, что:

а) если |h|<c, то Z=h не пересекает поверхность;

б) если |h|=с, то плоскости Z=c касаются данной поверхности в точках (0,0,c) и (0,0,-c);

в) если |h|>c, то уравнения можно записать так:

- эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|.

z
Пересекая поверхность координатными плоскостями Oyz(x=0) и Oxz(y=0), получим в сечении гиперболы, уравнения которых соответственно:

x
y
Рис.6.
h


Поделиться:


Познавательные статьи:




Последнее изменение этой страницы: 2016-12-14; просмотров: 999; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.21.44.115 (0.008 с.)