Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Продуктивные модели ЛеонтьеваСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Матрица А все элементы которой неотрицательны называется продуктивной если для любого вектора Y с неотрицательными компонентами существует решение уравнения баланса причем все элементы вектора Х > 0. В таком случае модель Леонтьева называется продуктивной. Существует математическая теория исследования и решения уравнения баланса. Не вдаваясь в подробности, остановимся на некоторых основных моментах. Теорема. Если для матрицы А с положительными элементами и вектора Y с положительными компонентами уравнение баланса имеет решение Х с положительными компонентами, то А – продуктивна. Иными словами достаточно установить наличие положительного решения уравнения баланса хотя бы для одного значения вектора Y, чтобы матрица А была продуктивна. Перепишем уравнение баланса с использованием единичной матрицы в виде: Если существует обратная матрица (Е –А)-1, то существует и единственное решение этого уравнения. (1) Матрица (Е –А)-1 – называется матрицей полных затрат. Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит, что А продуктивна, если сумма её элементов по любому её столбцу (строк) не превосходит единицы:
и существует номер j, что
Выясним экономический смысл матрицы полных затрат S = (Е –А)-1, для чего зададимся единичными векторами конечного продукта Y1(1,0,0,0…0), Y2(0,1…0),..Yn(0,…1) тогда по (1) соответствующие вектора валового продукта будут: , , Следовательно, каждый элемент Sij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i – отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j – ой отросли Yj = 1 (j = 1,n).
III. Элементы векторной алгебры Основные понятия Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами являются: длинна, площадь объем, работа, масса. Величины, которые определяются не только своим численным значением, но и направлением называются векторами, пример – скорость, сила. Определение. Направленный отрезок, на котором задано начало, конец и направление называется вектором. Если А и В – начало и конец, то вектор можно обозначить или . А B Расстояние между началом и концом вектора называют его длиной. 1. Векторы и называют коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых. 2. Векторы и называют равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны. В любой системе координат вектор можно охарактеризовать своими координатами =(x,y,z). Пусть в системе координат OXYZ координаты начала и конца вектора соответственно А (x 1, y 1, z 1 ) и В (x 2, y 2, z 2 ). Тогда координаты этого вектора определяются формулой: x = x2 - x1, y = y2-y1, z = z2-z1.
Длина вектора – модуль вектора: Нулевой вектор (000). Нулевой длины.
Операции над векторами Пусть даны два вектора =(a1,a2,a3) и =(b1,b2,b3) 1. Сложение. Суммой векторов и называется третий вектор =(с1,с2,с3) координаты которого равны сумме соответствующих координат a и b c1 = a 1+b1, c2= a 2+b2, c3= a 3+b3 . 2. Произведение. Произведение вектора a ≠ 0 на число λ ≠ 0 называется вектор λ , координаты которого соответственно равны λ a1, λ a2, λ a3. Можно показать, что для получения суммы векторов нужно совместить конец вектора с началом вектора , тогда = + будет направлен от начала первого к концу второго (рис. 1).
3. Вычитание. Под разностью векторов и понимается вектор такой, что .
Через координаты разность векторов и будет равна вектору , причем ; ; . Т.е.
4. Основные свойства линейных операций. 1. + = + 2.( + )+ = +( + ) 3. λ ·(α · )=(λ· )·α 4.(α+λ)· =α· +λ· 5.λ·( + )=λ· +λ· Пусть даны два вектора =(a1,a2,a3) и =(b1,b2,b3) из определений коллинеарности и произведения вектора на число следует, что a и b коллинеарны в том и только в том случае если их координаты пропорциональны - условие коллинеарности векторов 5. Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов и называют число равное · = · ·cosα (1), где a - угол между и . Скалярное произведение можно выразить через их координаты следующим образом: пусть даны =(a 1, а 2, а 3) и =(b 1,b2,b3).Тогда, · (2) (все смешанные произведения = 0).Сопоставляя (1) и (2) получим:
;
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами: 1). · = · ; 2). ( ·λ)· =( · )·λ 3). ·( + )= + 4). =| |2 5). · =0 если вектор перпендикулярен вектору . 6. Векторное произведение векторов. Векторным произведением вектора на называется вектор с, который а.) перпендикулярен векторам и т.е. ┴ и ┴ . b.) имеет длину численно равную площади параллелограмма построенного на векторах и как на сторонах (рис.2), т.е. |с| = |а|·|b|·sinφ, где φ=(a^b). с.) Векторы и должны образовывать правую тройку (три вектора образуют правую тройку векторов, если с конца третьего вектора с кротчайший поворот от первого а, ко второму b, виден совершающимся против часовой стрелки, и левую если по часовой). Векторное произведение обозначается × = или [ ]= Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами: 1. × = −( × )
Векторное произведение можно выразить через координаты: × = = = Где , , – единичные орты, направленные вдоль осей координат Это легко доказывается (делать этого не будем). 7. Смешанное произведение векторов.
= × . (рис. 4)
Имеем , Где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а – высота параллелепипеда, тогда .Знак «+» если эти вектора образуют правую тройку и знак «–» если левую, где - объем параллелепипеда. Свойства смешанного произведения: 1) 2) 3) 4)(axb)c=-(bxa)c и т.д. Выражение смешанного произведения через координаты: ; Без доказательства.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-14; просмотров: 457; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.133.127.131 (0.01 с.) |