Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

 

Уравнение вида где -

заданные функции (от ) называют линейным ДУ n-го порядка.

Оно содержит искомую функцию и все ее производные лишь в первой степени. Функции называются коэффициентами уравнения, а - его свободным членом.Если то уравнение называется однородным линейным дифференциальным уравнением. Если , то уравнение называется неоднородным.

Разделив уравнение на и обозначив

можно записать уравнение в виде приведенного уравнения

(10)

В дальнейшем будем рассматривать уравнения типа (10) считая, что свободный член и коэффициенты являются непрерывными функциями (на некотором интервале .

 

1. Линейные однородные ДУ второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго

порядка (11)

Теорема 3 Если функции и являются частными решениями уравнения (11), то решением этого уравнения является также функция , где и произвольные постоянные.

 

Из теоремы вытекает, что если и - решения уравнения (11),то решениями этого уравнения будут также функции и . Решение содержит две постоянные величины и .Возникает вопрос; будет ли это решение общим решением уравнения (11)? Для ответа на этот вопрос необходимо ввести понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.

Функции и называются линейно независимыми на интервале если равенство

(12)

выполняется тогда и только тогда, когда .Если хотя бы одно из чисел или отличны от нуля и равенство (12) выполняется,то функции и называются линейно зависимыми на .Очевидно, что функции и линейно зависимы, тогда и только тогда когда они пропорциональны т.е. для всех выполняется равенство или , где .

Например, функции и линейно зависимы, т.к. а и линейно независимы т.к. .

Оказывается, что совокупность любых двух линейно независимых на интервале частных решений и ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация .

Теперь можно сформулировать при каких условиях только что приведенная комбинация будет общим решением уравнения (11).

Теорема 4( Структура общего решения ЛОДУ второго порядка)

Если два частных решения и ЛОДУ (11) образуют на интервале фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция (12)

где - произвольные const.

 

Согласно теореме 3 функция (12) является решением уравнения (11).Поэтому остается доказать, что это решение общее, т.е. что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

где .

Это легко можно доказать, но мы этого делать не будем.

 

2. Линейные однородные ДУ n- го порядка.

Полученные выше результаты можно распространить на линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка, имеющие вид

(13)

1. Если функция является частным решением уравнения (13), то его решением является и функция .

 

2. Функции называются линейно независимыми на , если равенство выполняется лишь в случае, когда все числа , в противном случае (если хотя бы одно из чисел не равно нулю) функции -

линейно зависимы.

 

3. Частные решения уравнения (13) образуют фундаментальную систему решений на , если они линейно независимые решения в этом промежутке.

 

4. Общее решение ЛОДУ(13) имеет вид , где - произвольные постоянные, - частные решения уравнения (13), образующие фундаментальную систему.