Вычисление длины дуги плоской кривой

Рис.2.

Рис.4.

Пусть дана плоская кривая АВ, уравнение которой , где (рис.4). Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена стремится к нулю. Покажем, что если функция и ее производная непрерывны на отрезке , то кривая АВ имеет длину, равную . Применим способ №1. Для чего разобьем отрезок на n частей , каждой точке соответствуют точки , на кривой АВ. Проведем хорды , … длины которых обозначим соответственно через ∆L_1, ∆L₂…∆L_n. Получим ломаную линию M₀M₁…M_n, длина которой равна . Длину хорды (или звена ломаной) найдем по теореме Пифагора из треугольника с катетами ∆x_i и ∆y_i: , где , . По теореме Лагранжа о конечном приращении функции . Поэтому , а длина ломаной линии M₀M₁…M_n равна (1).

Длина ℓ кривой АВ по определению равна ℓ . Заметим, что при также и ( и, следовательно, ). Функция непрерывна на отрезке , так как по условию непрерывна функция . Следовательно, существует предел интегральной суммы, когда : ℓ . Таким образом,

ℓ или ℓ (2).

Если уравнение кривой задано в параметрической форме , где x(t) и y(t) – непрерывные функции с непрерывными производными и , , то длина ℓ находится по формуле: ℓ . Это соотношение получается из (2) путем подстановки , , .

Пример: Найти длину окружности радиуса R.

Если уравнение окружности записать в параметрической форме , то ℓ .

Вычисление объема тела

а) Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.

Пусть требуется найти объем тела V при известной площади S сечений этого тела относительно плоскости, перпендикулярной некоторой оси, например, ох; . Применим метод 2.

Через произвольную точку проведем плоскость , перпендикулярную оси ох. Обозначим через площадь сечения тела этой плоскостью. считаем известной и изменяющейся непрерывно при изменении . Через v обозначим объем части тела, лежащие левее плоскости . Будем считать, что на отрезке величина v есть функция от , т.е. v = v (x)(v ()=0, v ()=v. Теперь найдем дифференциал функции v = v (x). Он представляет собой слой тела, заключенного между параллельными плоскостями, пересекающими ось в точках и , который можно приближено принять за цилиндр с основанием и высотой (рис.5). поэтому дифференциал объема . Тогда для нахождения полного объема это соотношение надо проинтегрировать в пределах от до .

- полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

Пример: Найти объем эллипсоида . Если эллипсоид рассечен плоскостью, параллельной плоскости и на расстоянии от нее получим эллипс (см. рис. 6).

.

Площадь этого эллипса равна . Поэтому объем эллипсоида

б) Объем тела вращения

Пусть вокруг оси вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией отрезком и прямыми и . Полученная от вращения фигура, называется телом вращения. Сечение этого тела - плоскостью, перпендикулярной оси , проведенной через произвольную точку, есть круг радиуса . Следовательно, . Поскольку - выражение для объема тела вращения вокруг оси . Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми при условии , то для объема тела, образованного вращением этой трапеции относительно оси , по аналогии с полученным выше можно записать:

в) Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры

Рис. 8.

Пусть дана материальная плоская фигура (пластина), ограниченная кривой и прямыми (рис. 8). Будем считать, что плотность пластины есть величина . Тогда масса всей пластины равна , т.е. Выделим элементарный участок пластины в виде бесконечно малой узкой вертикальной полосы и будем считать его прямоугольником. Его масса равна . Центр тяжести прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Это точка отстоит от оси на расстоянии , а от оси на расстоянии . Тогда для элементарных статистических моментов относительно осей и получим следующие соотношения: и . Отсюда ; . Если обозначим координаты центра тяжести плоской фигуры то получим, что ; , т.е. или и .