Необходимый признак сходимости числового ряда

Нахождение -й частичной суммы и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является задачей весьма непростой. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них является необходимый признак сходимости.

Теорема. Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е.

Пусть ряд расходится и , тогда и . Учитывая, что при , получаем . ч.т.д.

Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если или этот предел не существует, то ряд расходится.

Пример: исследовать сходимость ряда ; , т.е. ряд расходится. Теорема даст необходимое условие сходимости ряда, не достаточное (из условия не следует, что ряд сходится). Это означает, что существуют расходящиеся ряды для которых . В качестве примера можно рассмотреть так называемый гармонический ряд.

Очевидно, что , но ряд расходится. (Доказывать не будем).

 

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов

Рассмотрим некоторые из достаточных признаков сходимости знакоположительных рядов, т.е. рядов с .

Признаки сравнения рядов. Сходимость или расходимость ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим (эталонным) рядом, о котором известно сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.

Теорема 1. пусть даны два знакоположительных ряда и . Если для всех выполняется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Доказательство:

Из неравенства следует (1). Пусть ряд сходится и его сумма равна , тогда . Члены этого ряда положительны, поэтому и, следовательно, с учетом неравенства (1) .таким образом последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху числом . По признаку существования предела последовательности имеет предел , т.е. этот ряд сходится. Если ряд расходится, то, так как члены ряда неотрицательны, то в этом случае . Тогда с учетом соотношения (1) получим, что , т.е. и ряд расходится.

Теорема.2. (предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда и . Если существует конечный, отличный от 0 предел , то ряды и сходятся и расходятся одновременно. (Без доказательств).

 

Признак Даламбера

В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и записи известных сходящихся и расходящихся рядов признак Даламбера позволяет решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.

Теорема. Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел , тогда ряд сходится при и расходится при .

Доказательство:

Так как , то по определению предела для любого найдется натуральное число такое, что при выполняется неравенство или (2).

Пусть . Можно подобрать так, что число . Обозначим . Тогда из правой части неравенства (2) получаем или . В силу свойства 3 числовых рядов можно считать, что для всех . Давая номеру эти значения получим целый набор неравенств:

………..

Т.е. члены ряда меньше соответствующих членов ряда , который сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем . Но тогда на основании признака сходимости сходится и ряд . Следовательно, сходится и исходный ряд .

Пусть . В этом случае . Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера , выполняется неравенство или , т.е. члены ряда с увеличением номера возрастают, поэтому . На основании следствия из необходимого признака этот ряд расходится.

1) Если , то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

2) Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения вида .

Пример.

Исследовать на сходимость ряд . Находим . Так как , то данный ряд по признаку Даламбера сходится.

 

Радикальный признак Коши

Иногда удобно пользоваться радикальным признаком Коши для исследования сходимости знакоположительного ряда. Этот признак во многом схож с признаком Даламбера.

Теорема. Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при и расходится при .

При вопрос о сходимости остается открытым. (Без доказательства).

Пример. Исследовать на сходимость ряд . Так как , то применим признак Коши к ряду . Вычисляем , т.е. этот ряд сходится, значит, сходится и исходный ряд согласно свойству 1 числовых рядов.