Вычисление тройного интеграла.

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Пусть областью интегрирования является тело, ограниченное снизу поверхностью , сверху поверхностью , причем и ( ≤ ) – непрерывные функции в замкнутой области , являющейся проекцией тела на плоскость OXY(рис.6). Будем считать область V правильной в направлении оси oz, тогда любая прямая, параллельная оси oz, пересекает границу области не более, чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в области V функции имеет место соотношение , сводящее вычисление тройного интеграла к вычислению двойного интеграла от однократного (доказательство этого соотношения мы упускаем). При этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной Z при постоянных х и у в пределах изменения Z. Нижней границей интеграла является аппликата точки А – точки входа прямой, параллельной оси oz, в область V, т.е. , верхней границей аппликата точки В – точки выхода прямой из области V, т.е. . Результат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных х и у. Если область ограничена линиями , ( <b), и , где и - непрерывные на отрезке функции, причем ≤ ,то, переходя от двойного интеграла к повторному получаем

Рис.6.

формулу: . С помощью этого соотношения и производятся вычисления тройных интегралов.

Пример. Вычислить , где V ограничивается плоскостями , , и (рис.7). Область V является правильной в направлении оси oz (как в направлении ох и оу). Ее проекция на плоскость оху является правильной в направлении оу и ох. Поэтому, применяя выше полученное соотношению имеем

.

Приложения тройного интеграла

1) Объем тела

Объем тела V выражается формулой .

2) Масса тела

Масса тела при заданной плотности вычисляется с помощью интеграла (тройного) .

3)Статические моменты

Моменты , , тела относительно координатных плоскостей OXY, OXZ, OYZ вычисляются по формулам , и .

5) Центр тяжести

Координаты центра тяжести тела , , .

 

 

V. Числовые ряды

Основные понятия

Числовым рядом называются выражения вида (1), где действительные или комплексные числа, которые называются членами ряда, общий член ряда. Этот ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера . Сумма первых членов ряда называется - частичной суммой ряда и обозначается , т.е. .

Рассмотрим частичные суммы , , . Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называется суммой ряда и говорят, что ряд сходится. Записывают так . Если не существует или , то ряд называется расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим несколько свойств рядов.

Свойство 1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна , то ряд (2), где - произвольное число также сходится и его сумма равна . Если же ряд (1) расходится, то и ряд (2) расходится.

Свойство 2. если сходится ряд (1) и сходится ряд , а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды , причем сумма каждого равна соответственно .

Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимися, так и расходящимися рядами. И из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть ряд расходящийся.

Свойство 3. если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.

Из этого свойства также следует, что если ряд (1) сходится, то его остаток стремится к нулю при , т.е. .