Исследование формы гиперболы по ее уравнению

1.Уравнение гиперболы содержит x и y в четной степени. Следовательно гипербола симметрична относительно осей Ox и Oy, а также т.O, которую называют центром гиперболы.

2.Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив y=0, находим две точки пересечения гиперболы с осью Ox: A₁(,0),A₂(- ,0). Положив x=0, получим y²=-b², чего не может быть. Следовательно, гипербола ось Oy не пересекает. Точки A₁(,0) и A₂(- ,0) называются вершинами гиперболы, а отрезок A₁A₂=2 - действительной полуосью гиперболы.

Отрезок B₁B₂ (B₁B₂=2b), соединяющий точки B₁(0,b) и B₂(0,-b), называется мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2 и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.

3. Из уравнения гиперболы следует, что уменьшаемое не меньше единицы, то есть или . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой x= (правая ветвь) и слева от прямой x=- (левая ветвь).

Рис.4.

A2 0 0 0)( бб(,0)

A1

F1(c,0)

F2(-c,0)

4. Из уравнения гиперболы видно, что когда |x| возрастает, то и |y| возрастает. Это следует из того, что разность - сохраняет постоянное значение, равное единице. Из всего сказанного следует, что гипербола имеет форму изображенную на рис.4. (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей)

Асимптоты гиперболы

Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой K, если расстояние d от точки M кривой до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении т.M вдоль кривой K от начала координат.

На рис.4 приведена иллюстрация сказанного. Покажем, что гипербола имеет две асимптоты: и

Так как эти прямые и гипербола симметричны относительно осей координат, то достаточно рассмотреть только точки указанных линий, расположенные в первой четверти. Возьмем на прямой т.N, имеющую ту же абсциссу x, что и точка M(x,y) на гиперболе

И найдем разность MN между ординатами прямой и ветви гиперболы(рис.5)

B1 (0, b)

M(x, y)

d

N

Рис.5.

 

 

При возрастании x знаменатель дроби увеличивается, числитель=const. Стало быть, длинна MN→0, так как MN>d, то и d → 0. То есть - асимптоты гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы () называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы:

,т.к. с>a, то >1.

Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Гиперболы и имеют общие асимптоты, такие гиперболы называются сопряженными.

Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалены от данной точки, называемой фокусом и данной прямой называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается p(p>0). Для вывода уравнения параболы выберем системы координат Oxy так, чтобы ось Ox проходила через F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F а начало координат О расположим посредине между фокусом и директрисой(рис.6). В выбранной системе F имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид или .

y

M (x, y)

N

Пусть M(x,y) - произвольная точка параболы. Соединим т.M с F. Проведем отрезок MN перпендикулярный директрисе. Согласно определению параболы MF=MN. По формуле расстояния между точками находим а

Рис.6.

F

N

Следовательно

Возводя в квадра т

Отсюда - каноническое уравнение параболы.