Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд

Теорема. Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывно монотонно убывающей на промежутке функции так, что то

1) если сходится, то сходится и ряд .

2) если расходится, то расходится также и ряд .

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , основанием которой служит отрезок оси от до (рис.1). Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки … Учитывая геометрический смысл определенного интеграла можно записать или или (1).

Случай 1. Несобственный интеграл сходится, т.е. . Поскольку < , то с учетом неравенства (1) имеем , т.е. .Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху (числом ), то по признаку существования предела, имеет предел. Следовательно, ряд сходится.

Случай 2. Несобственный интеграл расходится, тогда и интеграл неограниченно возрастает при . Учитывая, что (см. 1) получаем, что при . Следовательно, ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд . Воспользуемся интегральным признаком Коши. Функция удовлетворяет условиям теоремы. Поэтому находим . Значит, ряд с общим членом расходится. Ряд , где – действительное число называется обобщенным гармоническим рядом. Для исследования этого ряда на сходимость применим интегральный признак Коши. Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке и . При имеем: . При имеем гармонический ряд , который расходится (второй способ ). Итак, гармонический ряд сходится при , расходится при .

Рассмотренные признаки сходимости знакоположительных рядов позволяют судить о сходимости практически любого положительного ряда.

 

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Признак Лейбница

Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующимися. Такими рядами называется ряд вида: , где для всех . Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (Признак Лейбница).

Теорема Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если:

1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.

2) общий член ряда стремится к нулю . При этом сумма ряда удовлетворяет неравенствам .

Доказательство:

Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа членов ряда. Имеем . Выражения в каждой скобке согласно первому условию теоремы положительно. Следовательно, сумма и возрастает с возрастанием номера .

С другой стороны , можно переписать так: . Легко увидеть, что . Таким образом, последовательность возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел , причем .

Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа членов ряда. Очевидно, что . Отсюда следует, что . Т.к. в силу второго условия теоремы. Итак, как при четном , так и при нечетном . Следовательно, наш ряд сходится, причем .

Замечания.

1) Исследование знакочередующихся рядов вида (с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (-1) к исследованию ряда с + первым членом.

2) Соотношение позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму данного ряда его частичной суммой . Отброшенный ряд представляет собой также знакочередующийся ряд, сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е. поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

Пример.

Вычислить сумму ряда . Данный ряд лейбницевского вида. Он сходится. Можно записать . Взяв 5 членов, т.е. заменив на сделаем ошибку, меньшую чем . Итак, .

 

Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов

 

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечных множеств отрицательных членов, называется знакопеременным. Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд . Если сходится ряд , составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Доказательство:

Рассмотри вспомогательный ряд, составленный из членов рядов и .

.

Очевидно, что для всех , но ряд сходится в силу условий теоремы и свойства 1 числовых рядов. Следовательно, на основании признака сравнения сходится и ряд . Поскольку данный знакопеременный ряд представляет собой разность двух сходящихся рядов , то на основании свойства 2 числовых рядов ряд сходится.

Отметим, что обратное утверждение несправедливо: если сходится ряд , то это не означает, что сходится ряд .

Пример.

Исследовать сходимость ряда . Для этого ряда выполнены условия признака Лейбница. Следовательно, ряд сходится. Однако ряд, составленный из модулей членов этого ряда, т.е. расходится (гармонический ряд).