Решение не вырожденных линейных систем.

Формулы Крамера

 

Пусть дана система п – линейных уравнений с п – неизвестными:

или в матричной форме АХ=В. Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы:

∆=

называется определителем системы. Если ∆≠0, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений в случае ∆≠0. Умножив, обе части уравнения =В на матрицу А^-1 получим . Поскольку =I и =Х, то Х=

Отыскание решения подобным образом называется матричным способом решения системы. Матричное решение запишем в виде:

= ∙

То есть

=

 

Отсюда следует, что ;

= ,

но А₁₁b₁+A₂₁b₂+…A_n1b_n есть разложение определителя

 

 

по элементам первого столбца. Определитель ∆₁ получается из определителя ∆ путем замены первого столбца коэффициентов, столбцом из свободных членов.

 

Аналогично , x₃= ……..x_n=

Формулы ; i=1,n - называют формулами Крамера.

 

Это второй способ решения невырожденной системы п – линейных уравнений с п – неизвестными.

Пример:

Решение: ∆= =7≠0, ∆ = =7, ∆ = =14

Значит х₁ = 1, х₂ = 2.

Метод Гаусса

(решение систем линейных уравнений)

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, заключающийся в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений:

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду. На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Опишем все это поподробнее:

Прямой ход. Будем считать, что а₁₁ ≠ 0 (если а₁₁ = 0, то переставим строки так, чтобы первый элемент не был равен 0), после этого преобразуем систему исключив неизвестное х₁ во всех уравнениях, кроме первого. (для чего умножим обе части первого уравнения на () и сложим полученное со вторым уравнением системы). Затем умножим обе части первого уравнения на () и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс получим окончательно:

 

 

Здесь – новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом исключим х₂ из всех уравнений системы кроме первого и второго и так далее. Продолжаем этот процесс пока возможно. Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появится нулевое уравнение т.е. равенство вида 0 = 0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида 0 = b_i, а b_i ≠ 0, то это говорит о несовместимости системы.

Проведя все эти операции до конца, получим следующую систему уравнений:

 

где k < n, a_ii ≠ 0, i = 1 к. Коэффициенты a_ii называются главными элементами системы.

Второй этап заключается в решении ступенчатой системы уравнений. Она, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений.

В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное через остальные неизвестные (х_k+1 … x_n). Затем подставляем значение Х_k в предпоследнее уравнение системы и выражаем x_k-1 через (х_k+1 … x_n), затем находим x_k-2 …х₁. Придавая свободным неизвестным (х_k+1 … x_n) произвольные значения получим бесчисленное множество решений системы.

Пример:

Решение: Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы:

~ ~ ~

Полученная матрица соответствует системе:

итого