Элементы теории поверхностей второго порядка

Эти поверхности "похожи" на поверхности, образованные вращением кривой второго порядка вокруг ее оси симметрии. Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат. По аналогии с кривой второго порядка, поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением, содержащем квадраты координат:

.
Какого же типа поверхности могут получаться при всевозможных наборах коэффициентов в этом уравнении? Оказывается, что получающиеся поверхности второго порядка (за исключением случаев сильного вырождения) можно разделить на пять классов: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы и цилиндры. Для каждой из этих поверхностей существует (подходящая) система координат, в которой поверхность задается наиболее простым уравнением, называемым каноническим уравнением.

Далее укажем канонические уравнения основных таких поверхностей.

1. Сфера с центром в точке радиуса в любой (а не только в подходящей) декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение

(1) .

Пример. Изобразить поверхность с уравнением .

Решение. Группируя слагаемые с , , и дополняя их до полных квадратов, получим . Сравнивая с общим видом поверхности сферы (1), получаем, что данная поверхность есть сфера с центром радиуса 2 (см. рисунок).

 

2. Эллипсоид имеет каноническое уравнение вида ,

где − положительные числа. Очевидно, что в сечении эллипсоида координатными плоскостями получаются эллипсы с соответствующими полуосями (см. рисунок). Если проводить сечения эллипсоида плоскостями, параллельными координатной плоскости, например, , то можно показать, что весь эллипсоид составлен из эллипсов, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости , и подобных эллипсу в самой плоскости . Получаем эллипсоид на рисунке.

3. Гиперболоиды бывают однополостными и двуполостными. Однополостный гиперболоид имеет каноническое уравнение вида

где − положительные числа.

Исследовать форму однополостного гиперболоида можно как и для эллипсоида, определяя форму сечения его плоскостями, параллельными координатным. Получим то, что изображено на левом рисунке. Правый рисунок дает объемное изображение однополостного гиперболоида.

 

Двуполостный гиперболоид имеет каноническое уравнение вида

где − положительные числа. С помощью аналогичных сечений можно получить «каркасное, а затем и объемное изображение двуполостного гиперболоида (см. рисунки).

4. Конус (второго порядка) имеет каноническое уравнение вида

Где − положительные числа. Аналогично строятся «каркасный» и объемный рисунок конуса.

 

 

Если в уравнении конуса , то сечения конуса плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется прямым круговым конусом и может быть получена вращением прямой, лежащей в плоскости , вокруг оси . Именно такой конус изучается в школьном курсе математики.

5. Параболоиды бывают эллиптические и гиперболические.

Эллиптический параболоид имеет каноническое уравнение вида

где и − положительные числа.

Исследуя привычными методами форму эллиптического параболоида, получим следующие рисунки.

 

 

Если в уравнении эллиптического параболоида , то сечения плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения (правый рисунок выше) и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости , вокруг оси .

Гиперболический параболоид имеет каноническое уравнение вида

где и − положительные числа. С помощью сечений устанавливается его форма (см. рисунки):

 

6. Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных между собой прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые − образующими. Несложно показать, что уравнение вида определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси . Нас интересуют только те цилиндрические поверхности, которые являются поверхностями второго порядка.

Каноническое уравнение эллиптического цилиндра имеет вид , где и − положительные числа.

Каноническое уравнение гиперболического цилиндра имеет вид , где и − положительные числа (см. рисунок).

Каноническое уравнение параболического цилиндра имеет вид (см. рисунок).