Уравнение линии на плоскости

В предыдущих параграфах для вектора было введено понятие координат, что позволило значительно упростить действия над векторами, сводя их к обычным арифметическим действиям с числами. Координаты вектора полностью определяли его основные характеристики (длина, направления) и позволяли определять характер взаимного расположения векторов (параллельность, перпендикулярность). Нельзя ли полностью характеризовать каким-либо набором чисел и более сложные (чем вектор) геометрические объекты. Сейчас мы начнем изучать различные кривые, расположенные в некоторой плоскости, и этот вопрос будет актуален.

y

Пусть на некоторой плоскости имеется некоторая линия (см. рисунок). Нельзя ли ее положение полностью задать каким-либо набором чисел (как для вектора)? Помня, что таковыми могут быть координаты (по опыту векторов), сделаем упомянутую плоскость координатной, тем более, что процедура превращения простой плоскости в координатную весьма проста и заключается в помещении на эту плоскость прямоугольной системы координат, состоящей из двух взаимно перпендикулярных числовых осей. Теперь каждая точка плоскости стала координатной, т.е. получила два числа и в качестве своих координат, которые полностью определяют положение точки на плоскости. В частности, положение любой точки рассматриваемой кривой тоже определяется ее координатами. Поэтому если мы зададим таблицей координаты всех точек кривой, то эта числовая таблица однозначно определит положение всей кривой на плоскости. У этой идеи (задавать положение кривой таблицей, содержащей координаты всех ее точек) есть много недостатков, но принципиальный недостаток состоит в том, что точек на кривой бесконечно много, а потому рисование подобной таблицы займет бесконечно много времени. Поэтому от идеи задавать такие сложные геометрические объекты (как кривые) набором чисел придется отказаться. Попробуем другую идею. Для того, чтобы определить положение кривой на плоскости, нам достаточно научиться каким-либо образом узнавать для произвольной точки плоскости лежит ли она на данной кривой или нет. Каков же может быть механизм такого узнавания? Каждая точка характеризуется парой своих координат. Поэтому такой механизм должен, обработав пару чисел и (координаты точки), сделать вывод о принадлежности (или непринадлежности) точки данной кривой. А какой обработке можно подвергнуть пару чисел? Пару чисел можно, например, подставить в какую-нибудь формулу и посчитать после этого получающееся по этой формуле число. Тогда возникает следующая идея. Нельзя ли для данной кривой подобрать пару таких формул, содержащих две переменные и (обозначим эти формулы и ), которые бы обладали следующим свойством: если в эти формулы подставить координаты любой точки, лежащей на линии , то после вычислений по ним получаются одинаковые числа, а если точка не лежит на − то разные числа. В этом случае соотношение
и представляет собой механизм, определяющий принадлежность или непринадлежность точки данной кривой: если при подстановке координат произвольной точки в это соотношение получится верное равенство, то точка лежит на кривой, а нет – так нет.

Выражение вида

(1)

называется уравнением этой линии , если координаты любой точки, лежащей на линии, при подстановке в это выражение превращают его в верное числовое равенство, а не лежащей – не превращают. Уравнение линии будет играть ту же роль, что координаты для вектора. По виду такого уравнения можно будет находить положение и форму самой кривой, но и определять основные характеристики взаимоотношения различных кривых (положение точек пересечения, углы между кривыми и т.д.).

Замечание. Если в (1) перенести все в левую часть и обозначить получившуюся в этой части формулу через (т.е. ), то уравнение линии можно представить в более простой с виду форме: . Именно в такой форме соотношение (1) часто называют уравнением кривой. Однако для дальнейшего изложения более удобным мне кажется соотношение (1).

Исследуем вид уравнения (1) для линий различной формы, начиная с простейшей – прямой линии.