И абсолютного ускорения точки»

 

 

По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для момента времени t₁ абсолютные скорость и ускорение точки М. Схемы механизмов показаны на рисунках, а необходимые для расчёта данные приведены в табл. 2.4.

Определить кинематические характеристики точки М в момент времени t₁ (OM(t₁) – положение точки на траектории относительного движения; V _e(t₁) – переносная скорость; V _r(t₁) – относительная скорость; V (t₁) – абсолютная скорость; a _r(t₁) – относительное ускорение; a _е(t₁) – переносное ускорение; a _с(t₁) – ускорение Кориолиса; a (t₁) – абсолютное ускорение).

Для каждого варианта положение точки М на расчётной схеме соответствует положительному значению дуговой координаты ОМ = f(t).

Таблица 2.4

 

 

Номер варианта	Расчётная схема механизма	Исходные данные для расчёта
		ОМ = 18·sin(p·t/4), см; φe = 2·t^3 – t^2, рад; b = 25 см; t1 = 2/3 c

Продолжение табл. 2.4

 

		ОМ = 20·sin(p·t), см; φe = 0,4·t^2 + t, рад; R = 20 см; t1 = 5/3 c
		ОМ = 6·t^3, см; φe = 2·t + 0,5·t^2, рад; b = 30 см; t1 = 2 c
		ОМ = 10·sin(p·t/6), см; φe = 0,6·t^2, рад; α = 30^o; t1 = 1 c

Продолжение табл. 2.4

 

		ОМ = 40·p·сos(p·t/6), см; φe = 3·t – 0,5·t^3, рад; R = 30 см; t1 = 2 c
		ОМ = 6·t^2, см; φe = 2·t + 4·t^2, рад; b = 30 см; t1 = 1 c
		ОМ = 20·p·сos(2·p·t), см; φe = 0,5·t^2, рад; b = 40 см; α = 60^o; t1 = 3/8 c

Продолжение табл. 2.4

 

		ОМ = 6·(t + 0,5·t^2), см; φe = t^3 – 5·t, рад; b = 40 см; α = 30^o; t1 = 2 c
		ОМ = 10·(1+sin(2·p·t)), см; φe = 4t + 1,6t^2, рад; t1 = 1/8 c
		ОМ = 20·p·сos(p·t/4), см; φe = 1,2·t – t^2, рад; R = 20 см; b = 20 см; t1 = 4/3 c
		ОМ = 20·sin(p·t/3), см; φe = 2·t^2 – 0,5·t, рад; b = 25 см; t1 = 4 c

 

 

Продолжение табл. 2.4

 

		ОМ = 15·p·t^3/8, см; φe = 5·t – 4·t^2, рад; R = 30 см; b = 30 см; t1 = 2 c
		ОМ = 120·p·t^2, см; φe = 8·t^2 – 3·t, рад; R = 40 см; t1 = 1/3 c
		ОМ =3+14·sin(p·t), см; φe = 4·t – 2·t^2, рад; α = 30^o; t1 = 2/3 c

Продолжение табл. 2.4

 

		ОМ = 5· ·(t^2 + t), см; φe = 0,2·t^3 + t; рад; t1 = 2 c; b = 60 см; α = 45^o
		ОМ = 20·sin(p·t), см; φe = t – 0,5·t^2, рад; b = 20 см; t1 = 1/3 c
		ОМ = 8·t^3 + 2·t, см; φe = 0,5·t^2, рад; b = 4· см; t1 = 1 c
		ОМ = 10t + t^3, см; φe = 8t – t^2, рад; α= 30^o; t1 = 2 c

Продолжение табл. 2.4

 

		ОМ = 6·t + 4·t^3, см; φe = t + 3·t^2, рад; R = 40 см; t1 = 2 c
		ОМ = 30·p·cos(p·t/8), см; φe = 6·t + t^2, рад; R = 60 см; t1 = 2 c
		ОМ = 25·(t + t^2), см; φe = 2·t – 4·t^2, рад; R = 25 см; t1 = 1/2 c
		ОМ = 10·p·sin(p·t/4), см; φe = 4·t – 0,2·t^2, рад; R = 30 см; t1 = 2/3 c

Продолжение табл. 2.4

 

		ОМ = 6·p·t^2, см; φ = p·t^3/6, рад; R = 18 см; OO1 =20 см; t1 = 1 c
		ОМ = 75·p (0,1·t^2), см; φe = 2·t – 0,3·t^2, рад; R = 30 см; t1 = 1 c
		ОМ = 15·sin(p·t/3), см; φe = 10·t – 0,1·t^2, рад; t1 = 5 c
		ОМ = 8·cos(p·t/3), см; φe = 2·p·t^2, рад; α = 45^o; t1 = 3/2 c

Окончание табл. 2.4

 

		ОМ = 6·p·t^2, см; φ = p·t^2/6, рад; R = 20 см; OO1 =20 см; t1 = 1 c
		ОМ = 2,5·p·t^2, см; φe = 2·t^3 – 5·t, рад; R = 40 см; t1 = 2 c
		ОМ = 6·p·t, см; φ = p·t/6, рад; R = 20 см; OO1 =20 см; t1 = 1 c
		ОМ = 4·p·t^2, см; Y1= t^3 + 4·t; R = 48 см; t1 = 2 c

2.27. Пример выполнения курсового задания К 4

 

 

Дано: уравнение относительного движения точки М

OM = S_r = S_r(t) = 2,5·p·t², см;

уравнение вращательного движения тела D

φ_e = φ_e(t) = 2·t³ – 5·t, рад;

t₁ = 1 c; R = 40 см.

Точка М движется по телу D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для заданного момента времени t₁ абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М (OM(t₁) =? V_r(t₁) =? V_e(t₁) =? V(t₁) =? a _r(t₁) =? a _e(t₁) =? a _c(t₁) =? a (t₁)=?) (рис. 2.49).

Решение. Точка М осуществляет сложное движение, поэтому для решения задачи необходимо ввести неподвижную систему отсчёта O₁X₁Y₁Z₁ и подвижную систему отсчёта OXYZ. Изобразим рассматриваемый механизм в момент времени t₁ (рис. 2.50).

Координатную ось O₁Y₁ неподвижной системы отсчёта направим по оси вращения тела D. Подвижную систему отсчёта OXYZ закрепим на теле D, расположив начало отсчёта в точке О. По исходным данным уравнение относительного движения точки М задано естественным способом S_r(t) = 2,5·p·t². Исходя из этого, известны следующие характеристики движения: вид траектории движения – дуга окружности радиусом R; начало отсчёта дуговой координаты S_r – точка О; положительное направление отсчёта дуговой координаты S_r – знак (+); уравнение движения S_r = 2,5·p·t².

 

 

Определим положение точки М на траектории относительного движения в момент времени t₁:

S_r(t₁) = 2·p·(t₁)² = 2,5·p·2² = 10p см > 0.

Для координации точки М на траектории относительного движения целесообразно использовать центральный угол:

a(t₁) = S_r(t₁)/R = 2,5·p·(t₁)²/R = 2,5·p·2²/40 = p/4.

Итак, α(t₁) = 45^о. Точка М тела D, совершающего вращательное движение в неподвижной системе отсчёта O₁X₁Y₁Z₁, описывает окружность радиусом

MK = R – R·cos(α(t₁)) = R·(1 – cos(α(t₁))= 40·(1 – 0,707) = 11,72 см.

Таким образом, траектория переносного движения точки М установлена. Это окружность радиусом МК с центром в точке К, расположенной на оси вращения тела D.

Абсолютное движение точки М – это сумма относительного и переносного движений. Таким образом, траектория абсолютного движения точки М представляет собой винтовую линию, расположенную на сферическом конусе.

Для определения абсолютной скорости V точки М используется векторное равенство

V = V _r + V _e,

где V _r – вектор относительной скорости; V _e – вектор переносной скорости.

Определим проекцию относительной скорости V _r на касательную:

= = 5·p·t.

В момент времени t₁ имеем

(t₁) = (t₁) = 5·p·t₁ = 5·p·2 = 10·p = 31,4 см/c > 0.

Поскольку (t₁) > 0, то модуль относительной V_r(t₁) = (t₁), а вектор относительной скорости V _r направлен так же, как и единичный вектор τ естественной координатной системы отсчёта. Покажем этот вектор на рис. 2.50.

Для определения переносной скорости V _e предварительно найдем модуль ω_е угловой скорости переносного вращения.

ω_e = I I = I6·t² – 5I.

В момент времени (t₁) имеем

ω_e(t₁) = I6·(t₁)² – 5I = I6·2² – 5I = 19 рад/c > 0.

Поскольку ω_e(t₁) > 0, то величина угла φ_е возрастает. Покажем на рис. 2.50 направление вращения и определим модуль переносной скорости V_e(t₁) по формуле

V_e(t₁) = ω_e(t₁)·МК = 19·11,72 = 222,68 см/с.

Так как V_e(t₁) направлена по касательной к траектории переносного движения, то она перпендикулярна плоскости OYZ подвижной системы отсчёта. С другой стороны, V _{r ┴} V _e. Исходя из этого, определим модуль абсолютной скорости:

V(t₁) = = = 224,88 см/с.

Если V _r не перпендикулярна V _e, то определение модуля скорости V следует определять через проекции векторного выражения V = V _r + V _e на координатные оси неподвижной системы отсчёта O₁X₁Y₁Z₁.

= V_e; = – V_r·cos(α); = V_r·sin(α),

где , , – проекции абсолютной скорости на оси O₁X₁, O₁Y₁, O₁Z₁ системы отсчёта O₁X₁Y₁Z₁.

V(t₁) = =

= =

= = 224,88 см/с.

Для ориентации абсолютной скорости V в пространстве неподвижной системы отсчёта определим направляющие косинусы.

cos(V, i ₁) = (t₁)/V(t₁) = 222,68/224,88 = 0,990;

cos(V, j ₁) = (t₁)/V(t₁) = (– 31,4·0,707)/224,88 = – 0,098;

cos(V, k ₁) = (t₁)/V(t₁) = (31,4·0,707)/224,88 = 0,098.

При определении абсолютного ускорения a точки М используется формула

a = a _r+ a _e+ a _c,

где a _r – относительное ускорение; a _e – переносное ускорение; a _c – ускорение Кориолиса.

Поскольку относительное движение задано естественным способом, то справедливо равенство

a _r = + ,

где – относительное касательное ускорение; – относительное нормальное ускорение.

Так как переносное движение является вращательным, то переносное ускорение a _e находят по формуле

a _e= + ,

где – переносное центростремительное ускорение; – переносное вращательное ускорение.

Исходную формулу для определения абсолютного ускорения можно представить в следующем виде:

a = + + + + a _c.

Приступаем к определению слагаемых в правой части последнего выражения.

= = d /dt = d(5·p·t)/dt = 5·p = const.

(t₁) = 5·p = 5·3,14 = 15,7 см/с² > 0 = const.

Так как и имеют одинаковые знаки, то в относительном движении точка М движется равноускоренно. Покажем вектор (t₁) на рис. 2.50.

(t₁)= (V_r(t₁))²/ρ = (V_r(t₁))²/R = (3,14)²/40 = 24,64 см/с².

Вектор (t₁)направлен по главной нормали к центру кривизны траектории относительного движения.

Модуль a _r(t₁) относительного ускорения a _r(t₁) в момент времени t₁ определим по формуле

a _r(t₁) = =

= = 29,276 cм/c².

Модуль (t₁) переносного центростремительного ускорения (t₁) в момент времени t₁ определим по формуле

(t₁) = (ω_e(t₁))²·MK = (19)²·11,72 = 4230,92 см/с².

Вектор (t₁) направлен к оси переносного вращения. Покажем его на рис. 2.50.

Для определения переносного вращательного ускорения необходимо предварительно определить модуль ε_е переносного углового ускорения .

ε_e = I I = Id /dtI = Id(6·t² – 5)/dtI = I12·tI.

ε_e(t₁) = 12·t₁ = 12·2 = 24 рад/с².

Так как и имеют одинаковые знаки, то переносное вращение происходит ускоренно. Исходя из этого, направления и V _e совпадают.

(t₁) = ε_e(t₁)·МК = 24·11,72 = 281,28 см/с².

Покажем вектор (t₁) на рис. 2.50.

Модуль a _e(t₁) переносного ускорения a _е(t₁) в момент времени t₁ определим по формуле

a _е(t₁) = =

= = 4240,259 cм/c².

Приступаем к определению модуля ускорения Кориолиса.

a _c(t₁) = 2ω_е(t₁)·V_r(t₁)·sin( (t₁), V _r(t₁)).

Согласно определению вектор переносной угловой скорости лежит на оси вращения тела D и направлен в сторону увеличения координаты Y₁ (см. рис 2.50).

a _c(t₁) = 2ω_е(t₁)·V_r(t₁)·sin( (t₁), V _r(t₁)) = 2ω_е(t₁)·V_r(t₁)·sin(135^o) =

= 2·19·31,4·0,707 = 843,59 см/с².

По правилу векторного произведения (a _c = 2( x V _r)) ускорение Кориолиса a _c направлено так же, как и векторы V _e и . Покажем вектор ускорения Кориолиса на рис. 2.50.

Таким образом, в векторном равенстве

a = + + + + a _c

известны все слагаемые, находящиеся в его правой части.

Определим модуль a (t₁) абсолютного ускорения a (t₁) через его проекции (t₁), (t₁), (t₁) на оси неподвижной системы отсчёта O₁X₁Y₁Z₁ в момент времени (t₁).

(t₁) = (t₁) + a _c(t₁) = 281,28 + 843,59 = 1124,87 см/с²;

(t₁) = – (t₁)·cos(α(t₁)) + (t₁)·sin(α(t₁)) =

= – 15,7·0,707 + 24,64·0,707 = 6,32 см/с²;

(t₁) = (t₁)·sin(α(t₁)) + (t₁)·cos(α(t₁)) – (t₁) =

= 15,7·0,707 + 24,64·0,707 – 4230,92 = – 4202,39 см/с²;

a (t₁) = = 4350,01 см/с².

Для ориентации абсолютного ускорения в пространстве определим направляющие косинусы.

cos(a, i ₁) = (t₁) /a (t₁) = 1124,87/4350,01 = 0,258;

cos(a, j ₁) = (t₁) /a (t₁) = 6,32/4350,01 = 0,001;

cos(a, k ₁) = (t₁) /a (t₁) = – 4202,39/4350,01 = – 0,966.

Результаты расчётов сводятся в таблицу.

Таблица

 

Кинематические характеристики точки М в момент времени t₁

 

Sr(t1), см	Vr(t1), см/с	Ve(t1), см/с	V(t1), см/с	(t1), см/с^2	(t1), см/с^2	(t1), см/с^2
31,400	31,400	222,688	224,880	15,700	24,640	29,276

 

Окончание таблицы

 

, см/с^2	, см/с^2	, см/с^2	ωe(t1), рад/с	εe(t1), рад/с^2	a c(t1), см/с^2	a (t1), см/с^2
4230,920	281,280	4240,259	19,000	24,000	843,590	4350,010