Проекция вектора на ось. Свойства проекций. Правило нахождения.

Пусть в пространстве задана некоторая прямая и единичный вектор .

Def 1. Осью будем называть прямую, по которой задано направление. Направление оси задается вектором (направляющий вектор оси).

A

A 1

 

Пусть – точка непринадлежащая . Проведем через точку плоскость ⊥ . Получим точку , которая называется проекцией (ортогональной проекцией) точки на ось . Обозначение: .

Если наряду с точкой взять точку , то можно построить .

Def 2. Так построенный вектор называется векторной проекцией вектора на ось . Обозначают: .

Иногда говорят, что есть компонента вектора на оси .

Вектора и – коллинеарны ⇒ .

Def 3. Такое число называется скалярной проекцией (проекцией) вектора на ось . Пишут: .

Таким образом .

Легко видеть, что , если ⊥ .

Свойства проекции:

Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью:

.

 

 

A

B

A 1

B 1

B 2

рис. 1.

A

B

A 1

B 1

B 2

рис. 2.

 

 

Действительно, пусть .

Если (см. рис. 1), то , поэтому .

Если (см. рис. 2), то , и .

При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число:

.

Действительно, если , то λ и .

Если , то

Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых:

.

Действительно, это очевидно из следующих чертежей:

l

a

b

l

a

b

 

 

 

БИЛЕТ №10.

Скалярное произведение векторов. Свойства и приложения.

Проекция вектора на вектор.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства.

1) – Коммутативность.

2)

3)

4)

5)

Скалярное произведение векторов, заданных своими декартовыми координатами равно сумме по парных произведений соответствующих координат сомножителей.

Применение скалярного произведения.

1.

2. Определение перпендикулярности векторов, как скалярное произведение, равное нулю.

3.

4.

 

БИЛЕТ №11.

Векторное произведение векторов. Свойства и приложения.

 

Векторным произведением векторов называется вектор, обозначаемый , который обладает двумя свойствами:

1. Перпендикулярен двум исходным векторам.

2. Составляет с исходными векторами правую тройку^[6]

3.

Направление результирующего вектора определяется по правилу буравчика.

Свойства векторного произведения.

1. – проверка на колиниарности.

2.

3.

4.

5.

6.

 

 

БИЛЕТ №12.

Смешанное произведение векторов. Свойства и приложения.

 

Смешанным произведением трёх векторов называется число, обозначаемое , равное скалярному произведению трёх его сомножителей, на векторное произведение двух первых.

1. >0, когда , а значит угол v – острый, следовательно, вектора составляют правую тройку.

2. <0, когда , а значит угол v – тупой, следовательно, вектора составляют левую тройку.

3.

 

Свойства смешанного произведения.

1) =0 тогда, когда комплонарны.

2)

3)

 

БИЛЕТ №13.

Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку и заданным углом.

 

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

 

БИЛЕТ №14.

Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку и заданным нормальным вектором.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

 

БИЛЕТ №15.

Общее уравнение прямой.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

 

БИЛЕТ №16.