Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Соленоидальное поле и его свойства.
Векторное поле называется соленоидальным в области V, если в любой точке M этой области Свойства соленоидального поля. 1) Для того чтобы поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы поток через любую замкнутую поверхность равнялся нулю.
Необходимость следует из формулы Остроградского – Гаусса, достаточность – из инвариантного определения дивергенции.
2) Поток соленоидального поля через любую поверхность, окружающую изолированный источник или сток, один и тот же.
поток векторного поля через границы этих областей равен нулю. , . Складывая эти выражения, получим .
3) Поток соленоидального поля через произвольное сечение векторной трубки один и тот же.
Следствие. Векторные линии соленоидального поля не могут начинаться и заканчиваться внутри поля. В самом деле, иначе конечный поток приходился бы на нулевую площадь источника или стока, что требовало бы бесконечной мощности источника или стока.
Лекция 9 Формула Стокса. Ротор векторного поля. Назовем ротором векторного поля вектор Свойства ротора. 1) Линейность
= + = .
2) - постоянное векторное поле.
3) = + = .
Теорема Стокса.
Пусть пространственно односвязная область V содержит кусочно-гладкую поверхность с кусочно-гладкой границей . Пусть компоненты векторного поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим аргументам до второго порядка включительно в области V. Тогда справедлива формула Стокса
Замечание. Нормаль к поверхности проведена так, чтобы наблюдатель, находясь на конце вектора нормали, видел бы обход контура , совершающимся в положительном направлении (так, чтобы область, границей которой является контур, при обходе контура находилась бы «по левую руку»).
Доказательство теоремы Стокса.
представляет собой вектор Отсюда видно, что . Вспомним еще, что .
(на поверхности , поэтому под интегралом стоит частная производная P по y с учетом зависимости z от y на поверхности ) = Используем формулу Грина для области D с ее границей . Ее можно записать в виде . Нам понадобится только та ее часть, которая относится к функции P . Продолжаем равенство дальше. = . В самом деле, на контуре , а переменные x, y на том и другом контуре те же, так как контур - это проекция контура на плоскость OXY (параллельно оси OZ). Одна из частей формулы Стокса доказана.
Линейным интегралом векторного поля по дуге L называется криволинейный интеграл . Линейный интеграл имеет смысл работы векторного поля при перемещении по дуге.
Циркуляцией векторного поля называется линейный интеграл по замкнутому контуру. . Вводя эти понятия, можно записать формулу Стокса в «полевой» форме
.
Мы определили ротор векторного поля в декартовой системе координат, однако ротор – это характеристика самого векторного поля Поэтому необходимо дать определение ротора, которое не зависит от выбора системы координат.
Инвариантное определение ротора. Рассмотрим произвольную точку M в области V. Проведем через нее поверхность , границей которой служит контур . Пусть поверхность и контур удовлетворяют условиям теоремы Стокса. По теореме о среднем для поверхностного интеграла и формуле Стокса получим . Здесь, как и ранее - обозначение области и ее площади. Из этого соотношения, стягивая контур к точке M, получим Это и есть инвариантное определение ротора. Правая часть формулы – это поверхностная плотность циркуляции векторного поля (энергии в точке M вращения векторного поля или работы векторного поля при вращении вокруг некоторого направления, определяемого вектором ). Левая часть – это проекция ротора на это направление. Если направление совпадает с направлением ротора и - единичный вектор, то левая часть равна модулю ротора. Поэтому модуль ротора векторного поля равен максимальному значению поверхностной плотности циркуляции векторного поля. Левая часть достигает максимума при коллинеарности направления и ротора векторного поля. Поэтому направление ротора векторного поля – это то направление, вокруг которого поверхностная плотность циркуляции векторного поля – наибольшая. Пример. Найти ротор линейной скорости вращения с постоянной угловой скоростью
Векторное поле линейной скорости . ,
Ранее была сформулирована теорема о полном дифференциале для пространственной кривой. В ее доказательстве не хватало только одного пункта – перехода от пункта 3) к пункту 2). Все остальное доказывается аналогично случаю плоской кривой.
|
||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-16; просмотров: 1814; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.139.97.157 (0.015 с.) |