Теоремы о структуре знакопеременных рядов.

Обозначим - положительные члены, - отрицательные члены знакопеременного ряда. A – ряд , Am – ряд , P – ряд , Po – ряд A, в котором все отрицательные члены заменены нулями на тех же местах. Q – ряд , Qo – ряд A, в котором все положительные члены заменены нулями на тех же местах.

 

Пример

A

Am

Po

P

Qo

Q

 

Теорема Ряды P, Po, ряды Q, Qo сходятся или расходятся одновременно.

 

Доказательство. Так как ряд знакопеременный, то два последовательных положительных члена отделяет друг от друга конечное число отрицательных членов. То же верно и для последовательных отрицательных членов. Пусть первая серия нулей в Po: Тогда , т.е. k элементов в последовательности частичных сумм повторяются. Исключим их из последовательности и перенумеруем члены (это соответствует исключению серии нулей). Исключение последовательных одинаковых элементов не влияет на сходимость и предел последовательности. Далее доказательство можно провести по индукции, так как операция исключения нулей аналогична. Поэтому ряды Po и P сходятся или расходятся одновременно. Аналогичное верно и для Qo и Q.

 

Теорема. Если P сходится, Q – сходится, то Am сходится, т.е. ряд A сходится абсолютно.

Доказательство. Так как P сходится, то Po сходится, так как Q – сходится, то Qo – сходится. Складывая сходящиеся ряды Po и (-Qo) почленно (учитывая, что ), получим сходящийся ряд. Это – ряд Am.

 

Теорема. Если P сходится и Q расходится или P расходится и Q сходится, то A расходится.

Доказательство. Рассмотрим один из вариантов. Пусть P сходится и Q расходится.

Тогда Po сходится. Будем доказывать от противного. Пусть A сходится, тогда, вычитая из него сходящийся ряд Po, получим сходящийся ряд Qo. Тогда по доказанной выше теореме ряд Q сходится. Противоречие.

Второй вариант P расходится и Q сходится рассматривается аналогично.

 

Теорема. Пусть ряд A условно сходится, тогда ряды P, Q расходятся.

Доказательство. Если P, Q оба сходятся, то по доказанной выше теореме Am сходится, т.е. ряд A сходится абсолютно. Противоречие.

Если P сходится и Q расходится или P расходится и Q сходится, то A расходится.(по доказанной выше теореме). Противоречие.

Следовательно, оба ряда P, Q расходятся.

Итак, получена следующая схема.

.

Эта схема отражает суть теорем о структуре знакопеременных рядов.

 

Пример.

P: - сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Q: сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Следовательно, исходный ряд A абсолютно сходится.

Пример.

P: - сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Q: расходящийся ряд (по второму признаку сравнения с гармоническим рядом). Следовательно, исходный ряд A расходится.

 

Теорема Римана.

Пусть S – произвольное число (конечное или бесконечное). Тогда можно так переставить местами члены условно сходящегося знакопеременного ряда, что его сумма будет равна S.

 

Доказательство. Так как ряд A условно сходится, то ряды P, Q расходятся (теоремы о структуре знакопеременного ряда). Пусть для определенности S>0. Переставляем в начало ряда столько положительных членов, чтобы их сумма стала больше S, Теперь переставляем столько отрицательных членов, чтобы частичная сумма ряда стала бы меньше S. Повторяем этот процесс. Процесс осуществим для любого S, так как ряды P, Q расходятся (т.е. повторением членов можно набрать любую их сумму). С другой стороны, частичная сумма сконструированного ряда сходится именно к S. В сконструированном ряде - тот член ряда, добавление которого меняет знак . так как знакопеременный ряд условно сходится.

Сам ход доказательства напоминает добавление положительных членов – гирь на одну чашку весов, пока весы не покажут вес, больший S. Последний член – гиря . Затем добавление на другую чашку весов столько отрицательных – членов (вернее гирь, весом, равным модулям этих членов), чтобы весы показали вес, меньший S. Процесс повторяется. Вес гирь, вызывающих переход указателя весов через S, убывает до нуля, так как для условно сходящегося ряда выполняется необходимый признак сходимости. Поэтому .

 

Знакочередующиеся ряды.

 

Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если знаки членов ряда чередуются, т.е. ряд имеет вид . Предполагаем, что ряд начинается с положительного члена, .

К знакочередующимся рядам можно применить все теоремы, доказанные выше для знакопеременных рядов. Но есть специальный, очень удобный достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов – признак Лейбница (он не является необходимым признаком).

 

Признак Лейбница.

Пусть

1. ряд имеет вид (знакочередующийся, )

2. последовательность монотонно убывает

3.

Тогда 1) ряд сходится

2)

Доказательство. Рассмотрим последовательность частичных сумм с четными номерами

(последовательность монотонно убывает по условию теоремы).

Т.е. последовательность ограничена сверху .

Т.е. последовательность монотонно возрастает.

По теореме Вейерштрасса существует .

Рассмотрим теперь последовательность частичных сумм с нечетными номерами

.

По условию , т.е. .

По доказанному выше . Следовательно, предел правой части равенства существует и равен . Поэтому предел левой части равенства тоже существует и равен

.

Раскроем определение предела как для четных n, так и для нечетных n. Следовательно, это справедливо для любых , поэтому .

Из доказанного выше неравенства . Переходя к пределу, получим .

 

Следствие. . Остаток ряда оценивается модулем первого отброшенного члена ряда.

Доказательство. Так как остаток знакочередующегося ряда тоже знакочередующийся ряд, то его сумма по признаку Лейбница оценивается модулем его первого члена.

То есть . А первый член остатка ряда и есть первый отброшенный член.

 

Пример. Ряд

. Ряд сходится по признаку Лейбница. Ряд из модулей – расходящийся гармонический ряд. Следовательно, ряд сходится условно.

Функциональные ряды