Гидростатическое давление и его свойства.

Лекция 1

Введение.

 

Первым, дошедшим до нашего времени трудом по гидравлике был трактат великого математика и механика древности Архимеда (287-212 г.г. до н.э.) «О плавающих телах». Однако, сведения о некоторых законах гидравлики были, видимо, известны и ранее, так как задолго до Архимеда строились оросительные каналы и водопроводы.

Архимед оставил после себя многочисленные труды по вопросам математики, механики, гидростатики. Наиболее известны законы рычага, способы вычисление длин кривых, законы гидростатики.

Представитель древнегреческой школы Ктезибий (II или III век до н.э.) изобрёл пожарный насос, водяные часы и некоторые другие водяные устройства.

Герон Александрийский (вероятно, I век до н.э.) описал сифон, водяной орган, автомат для отпуска жидкости и т.п. /3/.

На протяжении почти 17 веков после Архимеда вплоть до трактата великого итальянского художника и инженера Леонардо да Винчи (1452 – 1519 г.г.) «О движении и измерении воды» не появлялось ни одного теоретического труда о равновесии и движении жидкости.

Затем идут работы итальянского физика, механика и астронома Галилео Галилея (1564 – 1642 г.г). В 1612 г. им была опубликована книга «Рассуждение о телах, пребывающих в воде и о тех, которые в ней движутся», в которой Г. Галилей описал условия плавания тел. Он показал, что гидравлические сопротивления возрастают с возрастанием скорости и плотности жидкости. Г. Галилей впервые разъяснил также вопрос о вакууме /3/.

Математик и физик Эванджелист Торричелли (1608 – 1647 г.г) в 1641 г. впервые провёл опытные исследования истечения жидкости из отверстий и установил пропорциональность скорости истечения υ корню квадратному из величины напора истечения Н

 

(, где g – ускорение свободного падения).

 

Формулы расхода и скорости истечения жидкости из отверстий, полученные Б. Кастелли и Э. Торричелли принадлежат к основным формулам современной гидравлики и имеют весьма важное практическое значение.

Французский математик, физик и философ Блез Паскаль (1623-1662 г.г.) сформулировал закон изменения давления в жидкостях, прямым следствием чего явилось появление в средние века большого количества гидравлических машин (гидравлические прессы, домкраты и т.п.)

Английский физик и математик Исаак Ньютон (1643-1727 г.г) в 1687 г. сформулировал гипотезу о внутреннем трении жидкости, введя понятие о вязкости жидкости, а также открыл явление сжатия струи при истечении жидкости через отверстие, исследовал относительное равновесие жидкости, приливно-отливные явление в природе и др.

Появление гидромеханики, как науки, связывают с именем выдающегося математика и механика, почётного члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера (1707-1783 г.г.), которого по праву считают отцом гидромеханики. Леонард Эйлер впервые определил понятие давления жидкости и вывел основные уравнения движения идеальной, лишённой вязкости жидкости. Впоследствии эти уравнения назвали его именем.

Аналитическое направление в гидромеханике продолжало развиваться и в последующие годы. Так как классическая гидромеханика не смогла удовлетворить запросы практики, в XIX столетии возникла новая наука – гидравлика.

В конце XIX – начале XX столетия под воздействием бурно развивающейся авиационной техники и турбостроения произошло сближение и соединение двух научных направлений в гидромеханике: аналитического и экспериментального. В гидромеханике переплелись теоретические и экспериментальные методы исследования.

Значительное место в развитии гидромеханики занимают русские учёные.

В 1738 г. почётный член Петербургской академии наук Даниил Бернулли вывел уравнение для установившегося движения идеальной несжимаемой жидкости, связавшее давление и массовую силу с кинематическими величинами. Несмотря на то, что уравнение Бернулли является основным для одномерного движения жидкости, оно имеет фундаментальное значение в гидромеханике, так как выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. /6/

Выдающийся учёный Н.Е. Жуковский (1847-1921 г.г) - автор теории воздушного винта, течений в реках, гидравлического удара в водопроводных трубах, трения в подшипниках и т.д. – создал основы аэродинамики. В ЦАГИ имени проф. Н.Е. Жуковского выросла замечательная плеяда учёных-механиков: академики М.В. Келдыш, М.А. Лаврентьев, С.А. Христианович, Л.И. Седов и др.

Большой вклад в развитие гидравлической науки внесли академики Н.Н. Павловский, Л.С. Лейбзон, И.Н. Вознесенский, Н.Н. Ковалёв и И.И. Жуковский /5/.

В нашей стране гидромеханика, гидравлика, гидромашиностроение достигли высокой ступени развития. Об этом свидетельствуют успехи в области космонавтики, авиации, судостроения, трубопроводного транспорта, гидроэнергетики.

Конец прошлого столетия. К этому периоду относится зарождение авиации, трубостроения, совершенствование двигателей внутреннего сгорания. Теоретические и технические задачи того периода сближаются настолько, что становятся едиными.

Школа Жуковского-Чаплыгина (теоретическая и экспериментальная гидроаэродинамика, ЦАГИ, 1918г. МВТУ, учёные Б.С. Юрьев, В.П. Ветчинкин, А.А. Тулаев, Б.С. Стечкин. В лабораториях ЦАГИ работали М.Д. Миллионщиков, Л.И. Седов и др.

Зарождение и развитие авиационной и ракетной техники вызвало появление гидроаэродинамики и газовой динамики:

· это гидровакуумные усилители исполнительных механизмов;

· это конструирование и расчёт формы автомобилей с целью максимального сокращения сил сопротивления движению;

· это решение вопросов погрузочно-разгрузочных операций.

Гидромеханика – механика капельных (несжимаемых) жидкостей, или наука об общих законах их движения и равновесия. Подобно теоретической механике она состоит из трёх разделов: статики, кинематики и динамики. Статика жидкостей (гидростатика) - наука об их равновесии. Кинематика жидкостей изучает их движение только с геометрической стороны, т.е. вне зависимости от действующих на них сил. Динамика жидкостей (гидродинамика) устанавливает взаимосвязь между внешними силами и обуславливаемыми ими движением жидкости.

Простейшим движением жидкой частицы является её одномерное движение. Если ось ординат OX совместить с траекторией движения жидкой частицы, то её положение в пространстве в любой момент времени определяется одной независимой переменной – координатой x.

Когда жидкая частица совершает произвольное движение в пространстве, её положение в любой момент времени относительно координат определяется тремя независимыми переменными – координатами , и . Это движение жидкой частицы называют трёхмерным.

Обтекание тел жидкостью, или движение тел в жидкости, является внешней задачей гидромеханики. Течение жидкости внутри твёрдых тел, например в трубопроводах, каналах и т.д., составляет внутреннюю задачу гидромеханики.

 

 

Свойства жидкостей.

Жидкостью называется физическое тело, обладающее текучестью, не имеющее своей формы и всегда принимающее форму сосуда в котором находится. Частицы жидкости обладают большой подвижностью. Благодаря этому в отличие от твёрдых тел жидкость может течь и легко изменять свою форму.

Жидкости делятся на два класса: капельные и газообразные.

Капельная жидкость - это жидкость, оказывающая значительное сопротивление силам, стремящимся изменить её объём.

Газообразная жидкость – меняет свой объём в широких пределах.

Сопротивление жидкости изменению своей формы зависит от скорости процесса. При медленном изменении формы жидкости силы сопротивления малы, при быстром изменении формы жидкости последняя оказывает большое сопротивление.

В то же время в отличие от твёрдого тела жидкость оказывает большое сопротивление изменению своего объёма. Например, чтобы сжать воду только на 5% по отношению к её первоначальному объёму, на неё следует воздействовать давлением в 10⁸ Па.

 

1. Плотность – масса жидкости в единице объёма /4/

 

, (1)

 

Отношение веса жидкости к объёму называется удельным весом

 

, (2)

 

Связь между плотностью и удельным весом устанавливает уравнение , где - ускорение свободного падения

Значение плотности и удельного веса некоторых жидкостей при атмосферном давлении приведены в таблице 1 (в системе единиц измерения СИ и МКГСС

Таблица 1

Вода пресная при
Морская вода
Минеральное масло (среднее значение)
Ртуть
Бензин (среднее значение)

Примечание: в отличие от других жидкостей, вода имеет наибольшее значение и при . С уменьшением и с увеличением температуры воды её плотность и удельный вес уменьшаются.

 

2. Сжимаемость – это способность жидкостей изменять свой первоначальный объём при изменении давления и температуры. Характеризуется коэффициентами объёмного сжатия и температурного расширения .

 

(3)

 

Величина , называется модулем объёмной упругости.

 

, (3а)

 

Для пресной воды , а .

 

3. Вязкость – способность жидкости сопротивляться растягивающим и сдвигающим усилиям. Обусловлена сопротивлением молекулярных сил относительному смещению частиц жидкости.

 

Согласно гипотезе И. Ньютона, подтверждённой исследованиями Н.П. Петрова, сила вязкостного сопротивления

 

, (4)

 

где		- поверхность трения, ;
		- поперечный градиент скорости, ;
		- динамический коэффициент вязкости, .

Величина обратная динамическому коэффициенту вязкости - называется текучестью жидкости.

Отношение называется кинематическим коэффициентом вязкости, .

В качестве внесистемной единицы кинематического коэффициента вязкости в технике широко используются единица измерения стокс (). При этом .

Коэффициент вязкости зависит от температуры и от давления.

Непосредственное определение динамического и кинематического коэффициентов вязкости связано с определёнными трудностями. Поэтому для характеристики вязкости жидкостей пользуются и единицами условной вязкости.

В России в качестве единицы условной вязкости принят градус условной вязкости - , а в некоторых европейских странах – градус Энглера – . При этом .

Условной вязкостью называется отношение времени истечения испытуемой жидкости через капилляр к времени истечения такого же объёма дистиллированной воды при .

Для перевода единиц условной вязкости в другие единицы измерения вязкости применяют эмпирические формулы.

Процесс измерения вязкости называется вискозиметрией, а применяемые при этом приборы – вискозиметрами.

Вязкость пресной воды при .

 

4. Растворимость газов в жидкости. Все жидкости способны растворять газы при изменении давления и температуры. Эта способность учитывается коэффициентом растворимости

 

(5)

 

здесь и - объёмы растворённого газа и жидкости.

Газы, будучи в растворённом состоянии, мало оказывают влияние на другие физические свойства жидкостей. Однако в минеральных жидкостях растворенный газ может стать причиной образования устойчивой пены, из-за чего снижается жёсткость объёмного гидропривода.

Воздух, растворенный в минеральных жидкостях, кроме того, интенсифицирует процесс окисления этих жидкостей.

 

5. Химическая и механическая стойкость – способность жидкости сохранять свои первоначальные физические свойства при воздействии на них изменяющихся давления и температуры, а также от влияния на жидкость конструкционных материалов. Это свойство учитывается при выборе типа и марки рабочих жидкостей для объёмного гидропривода.

 

6. Кавитация.

Кавитацией называется процесс вскипания жидкости при обычной температуре, вызванный падением давления в этой жидкости до давления её насыщенных паров. Состояние насыщенных паров – это такое состояние двухфазной жидкости, когда число молекул жидкости, превращающихся в пар, сравнивается с числом молекул, превращающихся из пара в жидкость. Давление, соответствующее такому двухфазному состоянию жидкости, называется давлением насыщенных паров. Это давление зависит от рода жидкости и температуры. С увеличением температуры давление насыщенных паров возрастает.

Лекция 2

Гидростатика

 

Гидростатика – раздел гидравлики, в котором рассматриваются законы покоя или равновесия жидкости и практическое применение этих законов в технике. Состояние покоя или состояние движения жидкости обуславливается, прежде всего, характером действующих на жидкость сил, их величиной и направлением.

По аналогии с теоретической механикой в гидравлике все силы, действующие в жидкости, подразделяют на внутренние и внешние.

Внутренние силы – это силы взаимодействия межу отдельные частицами жидкости. Рассматривая жидкость, как сплошную среду, можно говорить о частицах жидкости как об элементарных объёмах.

Внешние силы – это силы, приложенные к частицам рассматриваемого объёма жидкости со стороны жидкости, окружающей этот объём.

Внешние силы делятся на три группы:

а) массовые

б) поверхностные

в) линейные.

Массовые силы в соответствии со вторым законом Ньютона пропорциональны массе жидкости (или для однородной жидкости – её объёму). К ним относится сила тяжести, а также сила инерции, действующая на жидкость при её относительном покое в ускоренно движущихся сосудах.

Поверхностные силы приложены к поверхности, ограничивающей рассматриваемый объём жидкости, и пропорциональны площади этой поверхности. Это, например, силы гидростатического давления внутри объёма жидкости и атмосферного давления на свободную поверхность; силы трения движущейся жидкости.

Линейные силы возникают на границе жидкости и газа и называются силами поверхностного натяжения. Сила поверхностного натяжения направлена по касательной к поверхности жидкости и перпендикулярна к линии контура, на который она действует.

 

 

Уравнение гидростатики

Умножим каждый из членов, входящих в систему (13) дифференциальных уравнений, соответственно на ; ; и просуммируем их. В результате этих действий получим:

 

(14)

Уравнение (14) является аналитическим выражением распределения гидростатического давления жидкости.

Для случая покоящейся жидкости гидростатическое давление . Следовательно, правая часть уравнения (14) представляет полный дифференциал давления .

Таким образом, приведенное выше уравнение (14) приобретает следующий вид:

 

(15)

Применим уравнение (15) к случаю абсолютного покоя жидкости, когда массовой силой является только сила тяжести. При принятом направлении координатных осей проекции этой силы будут:

 

; ; ,

 

а уравнение (15) применительно к точке получает вид:

 

.

 

После интегрирования получим:

 

 

При – давление на свободной поверхности, а – глубина погружения в жидкости точки, для которой определяется давление:

 

(16)

 

где		– давление на свободной поверхности;
		– плотность жидкости.

 

Уравнение (16) называется основным уравнением гидростатики.

 

Закон Паскаля

«Если жидкость находится в состоянии покоя, то изменение давления на любой внешней поверхности, возникающее от действия внешних сил, передается без изменения во все точки объема, занимаемого данной жидкостью».

Доказательство из уравнения (16).

Абсолютное давление в т. А при размещении поршня в положении – (рис.3):

 

(17)

 

После перемещения поршня в положение (рис. 3а) давление на свободной поверхности увеличится на величину и будет равно , а абсолютное давление в т. А будет равно

 

,

т.е. при изменении давления на свободной поверхности на , на эту же величину увеличится давление в точке А.

 

Рис. 3а. Схема действия давления по закону Паскаля.

 

Эта идея использована Паскалем в принципиальной концепции гидропроцесса.

 

Пьезометрическая высота

Слово «пьезометрическая» от греческого означает «давление»+«мера».

В закрытом сосуде с жидкостью установим две трубки на уровне ВА, причем у одной из них запаян конец и отсутствует давление (), а другая имеет открытый конец () (рис. 4). называется атмосферным давлением окружающего нас воздуха. Это давление изменяется во времени и с изменением высоты местности. За нормальное атмосферное давление принимается , что соответствует столба пресной воды и столба ртути. При решении задач за атмосферное давление принимают .

Внутри сосуда зададим давление . Жидкость в правой трубке поднимается на высоту , получившей название избыточной пьезометрической высоты; в левой трубке жидкость поднимается на уровень , получившей название абсолютной пьезометрической высоты, а называется абсолютным давление в точке А.

 

Рис. 4. Пьезометрическая высота.

 

Вакуум – разность между атмосферным и абсолютным давлением - «пустота» (лат.) или недостаток давления (рис. 5)

 

(18)

 

 

 

Рис. 5. Схема измерения вакуума

 

 

Напор

Рассмотрим точку К (рис. 6) на произвольной глубине h по отношению к плоскости сравнения 0 – 0. В точке К установим пьезометр. Пьезометрический напор

 

 

где – геометрический напор.

Аналогично определим напор в точке С:

 

 

Очевидно, что .

Отсюда следует, что напор состоит из удельной потенциальной энергии давления и удельной потенциальной энергии положения (геометрический напор).

 

Далее опустим в сосуд на малую глубину трубку Е, предварительно выкачав из нее воздух. По этой трубке жидкость поднимается на высоту равную приведенной пьезометрической высоте. Сумма двух линейных величин и называют гидростатическим напором:

 

Рис 6. Схема расчета напора

 

(19)

 

Таким образом, при учете гидростатического напора учитывают атмосферное давление .

 

Лекция 3

Криволинейную стенку

В отличие от плоской стенки гидростатическое давление в разных точках криволинейной стенки различается не только по величине, но и по направлению. Поэтому силу гидростатического давления, действующую на криволинейную стенку, непосредственно определить нельзя: ее находят через составляющие этого вектора.

	р0

Рz

Рx

dРизб

dРz

dРx

 

Рис. 15. К определению силы давления на криволинейную стенку

 

Рассмотрим криволинейную поверхность АВ, подверженную действию избыточного гидростатического давления (жидкость справа) (рис. 15).

Выделим площадку , центр тяжести которой погружен в жидкость на глубину . На площадку будет действовать элементарная сила избыточного давления :

 

, Н (38)

 

Разложим на составляющие:

- горизонтальная составляющая силы

 

, Н (39)

 

- вертикальная составляющая силы

 

, Н. (40)

 

где - угол составляющей между элементарной площадкой и горизонтальной плоскостью, град.

 

Рассмотрим каждую в отдельную составляющую силы избыточного давления, действующего на криволинейную поверхность АВ.

Элементарная горизонтальная составляющая силы избыточного давления равна

.

 

В то же время

 

.

 

Следовательно

 

.

 

Из рис. 15 видно, что

 

,

 

где - площадь проекции элементарной площадки на вертикальную плоскость, .

Откуда

 

.

 

Горизонтальная составляющая силы избыточного давления после интегрирования равна

 

(41)

где - статический момент инерции всей площади проекции относительно свободной поверхности жидкости, ;

 

 

т.е. статический момент инерции равен произведению площади вертикальной проекции на глубину погружения центра ее тяжести .

Откуда находим

 

(42)

 

Элементарная вертикальная составляющая силы избыточного гидростатического давления равна:

 

, или (43)

 

 

Величина является площадью проекции на горизонтальную плоскость . Следовательно

 

.

 

Заметим, что представляет собой бесконечно малый объем бесконечно малой призмы, отмеченной на рис. 15 штриховкой.

Произведение является силой тяжести в этом бесконечно малом объеме :

 

.

 

Отсюда вертикальная составляющая силы избыточного гидростатического давления будет равна

 

.

 

После интегрирования находим:

 

;

;

. (44)

 

где - тело давления, .

Объем , являющийся суммой элементарных объемов, называется телом давления.

Тело давления – это объем, ограниченный криволинейной поверхностью АВ, ее проекцией на уровень свободной поверхности АВ и вертикальными плоскостями проецирования.

Полная сила гидростатического давления определяется из выражения

 

(45)

 

где		- горизонтальная составляющая силы избыточного гидростатического давления, ;
		- вертикальная составляющая силы избыточного гидростатического давления, .

 

Направление полной силы определяется углом (рис. 15):

 

.

 

Полная сила избыточного гидростатического давления приложена в центре давления.

Вектор полной силы давления должен проходить через точку пересечения ее горизонтальной и вертикальной составляющих, т.е. и под углом .

Таким образом, центр давления для криволинейных поверхностей находится графоаналитическим путем.

Если криволинейная поверхность цилиндрическая, то сила будет проходить через центр радиуса кривизны этой поверхности.

 

 

Остойчивость тел

 

Различают остойчивость тел, полностью погруженных в жидкость (подводное плавание), и остойчивость тел, плавающих на свободной поверхности жидкости (надводное плавание).

Точка приложения силы тяжести тела называется центром тяжести тела и обозначается буквой .

Центр водоизмещения или центр давления располагается в центре тяжести объема водоизмещения и обозначается буквой .

Условно считают, что подъемная сила приложена в центре давления, т.е. в точке .

В общем случае центр тяжести и центр давления не совпадают.

Линия, проходящая через центр тяжести тела и центр водоизмещения и соответствующая нормальному положению тела, называется осью плавания (рис. 18).

		р0		р0
		р0

Рz

Рz

Рz

 

Рис. 18. К вопросу об остойчивости тел

 

Условия остойчивости сводятся к следующим основным положениям:

· если пара сил (вес тела и подъемная сила ) при крене тела стремится уменьшить крен и вернуть тело в первоначальное положение, то такое положение будет остойчивым;

· если пара сил (вес тела и подъемная сила ) стремится этот крен увеличить, то положение тела будет неостойчивым.

 

Рассмотрим три случая остойчивости тел, погруженных в жидкость:

1) центр тяжести тела находится ниже центра водоизмещения (рис. 18, а). В этом случае образуется пара сил, стремящаяся после крена вернуть тело в первоначальное положение; следовательно, имеет место остойчивое равновесие;

2) центр тяжести тела находится выше центра водоизмещения (рис. 18, б). В этом случае образуется пара сил, которая стремится увеличить крен тела; следовательно, имеет место неостойчивое равновесие;

3) при совпадении центра тяжести и центра водоизмещения (рис. 18, в). Пара сил отсутствует, и имеет место случай безразличного равновесия, при котором тело будет сохранять заданное ему положение.

 

Лекция 4.

Гидродинамика.

Основной задачей гидродинамики является исследование изменения параметров в движущейся жидкости:

- скорость движения частиц жидкости

 

;

 

- давление в рассматриваемой точке

 

;

 

- силы воздействия жидкости на погруженные в нее тела.

 

При изучении движения жидкости гидродинамика использует метод Л. Эйлера, согласно которому движение отдельных частиц жидкости и потока в целом рассматривается относительно неподвижных точек пространства, занятого движущейся жидкостью.

При теоретических исследованиях гидродинамика использует свойства идеальной жидкости. Решения, полученные для идеальной жидкости, распространяются на реальную жидкость, а в аналитические зависимости вносят поправочные коэффициенты, полученные экспериментальным путем и которые учитывают влияние на движение свойств реальных жидкостей.

В конечном итоге исследование движения сводится к определению во всех интересующих точках потока жидкости двух основных параметров – скорости движения и гидродинамического давления.