Построение уравнения парной регрессии.

1.1. Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи (т.е. в определении вида функции – линейной, степенной и т.д.), в котором изменение одной величины (результативного признака) обусловлено изменением независимой величины (факторного признака). Количественно оценить данную взаимосвязь можно с помощью построения уравнения регрессии или регрессионной функции. Так как получить точное соотношение между изучаемыми экономическими показателями практически невозможно, то в регрессионном анализе в уравнение связи вводится случайная величина .

Базисной регрессионной моделью является модель парной (однофакторной) линейной регрессии. Данная регрессионная функция называется полиномом первой степени и используется для описания равномерно развивающихся во времени процессов. Общий вид парного линейного уравнения регрессии, описывающего зависимость от :

,

где – зависимая переменная, – независимая переменная;

– неизвестные параметры уравнения регрессии, подлежащие оцениванию;

– случайная ошибка модели регрессии, появление которой может быть обусловлено следующими объективными предпосылками:

1) нерепрезентативность выборки. В модель парной регрессии включается один фактор, не способный полностью объяснить вариацию результативного признака, который может быть подвержен влиянию множества других факторов в гораздо большей степени;

2) существует вероятность того, что переменные, участвующие в модели, могут быть измерены с ошибкой.

Исходными данными для определения коэффициентов уравнения регрессии являются значения зависимой переменной и соответствующие им значения независимой переменной , измеренные в наблюдениях (эмпирические данные)

.

Аналитическая форма зависимости между изучаемой парой признаков (регрессионная функция) определяется с помощью следующих методов:

1)на основе визуальной оценки характера связи. На линейном графике по оси абсцисс откладываются значения факторного (независимого) признака , по оси ординат – значения результативного признака . На пересечении соответствующих значений отмечаются точки. Полученный точечный график в указанной системе координат называется корреляционным полем. При соединении полученных точек получается эмпирическая линия, по виду которой можно судить не только о наличии, но и о форме зависимости между изучаемыми переменными;

2)на основе теоретического и логического анализа природы изучаемых явлений, их социально-экономической сущности.

Параметр уравнения парной регрессии называется наклоном. Его величина показывает, на сколько в среднем изменится результативный признак при изменении факторного признака на единицу своего измерения. Знак параметра в уравнении парной регрессии указывает на направление cвязи. Если > 0, то связь между изучаемыми показателями прямая, т. е. с увеличением факторного признака увеличивается и результативный признак , и наоборот. Если < 0, то связь между изучаемыми показателями обратная, т. е. с увеличением фактора результат уменьшается, и наоборот.

Значение параметра , который называется сдвигом, трактуется как среднее значение результативного признака упри условии, что факторный признак равен нулю. Такая трактовка параметра возможна только в том случае, если значение = 0 имеет смысл.

1.2 Нормальная линейная модель парной регрессии

Нормальная, или классическая, линейная модель парной регрессии (регрессии с одной переменной) строится исходя из следующих предположений:

1) факторный признак является неслучайной или детерминированной величиной, не зависящей от распределения случайной ошибки уравнения регрессии ;

2) математическое ожидание случайной ошибки уравнения регрессии равно нулю во всех наблюдениях:

где ;

3) дисперсия случайной ошибки уравнения регрессии является постоянной для всех наблюдений:

4) случайные ошибки уравнения регрессии не коррелированны между собой, т. е. ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю:

где .

Это предположение верно в том случае, если изучаемые данные не являются временными рядами;

5) основываясь на 3 и 4 предположениях, добавляется условие о том, что случайная ошибка уравнения регрессии является случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией.

Исходя из указанных предпосылок, нормальную линейную модель парной регрессии можно записать в следующем виде:

(1)

где – значения зависимой переменной ;

– значения независимой переменной;

– коэффициенты уравнения регрессии, подлежащие оценке;

- случайная ошибка уравнения регрессии.

Матричная форма нормальной линейной модели парной регрессии:

(2)

где – вектор значений зависимой переменной размерности nх1;

– матрица значений независимой переменной размерности nх2.

Первый столбец является единичным, так как в уравнении регрессии параметр умножается на 1;

– вектор коэффициентов уравнения регрессии размерности 2х1;

– вектор случайных ошибок уравнения регрессии размерности nх1.