ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.



ЛЕКЦИИ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

 

 

Новосибирск 2005

СОДЕРЖАНИЕ

 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
  1. Прямоугольная система координат
  2. Векторы на плоскости и в пространстве
  3. Операции над векторами
  4. Разложение вектора по ортам
  5. Скалярное произведение векторов
  6. Векторное произведение векторов
  7. Смешанное произведение векторов
§ 2 ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 3 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
  1. Линии на плоскости
  2. Каноническое уравнение прямой на плоскости
  3. Общее уравнение прямой
  4. Уравнение прямой « в отрезках »
  5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
  6. Угол между прямыми
§ 4 ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
  1. Общее уравнение плоскости
  2. Уравнение плоскости по точке и двум векторам, параллельным плоскости
  3. Уравнение плоскости «в отрезках»
  4. Угол между плоскостями
§ 5 ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
  1. Канонические уравнения прямой
  2. Общие уравнения прямой в пространстве
  3. Прямая и плоскость
§ 6 ПОЛУПРОСТРАНСТВА И ПОЛУПЛОСКОСТИ
  1. Полупространства
  2. Расстояние от точки до плоскости
  3. Полуплоскости. Расстояние от точки до прямой

 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

В математике первичными понятиями являются понятия множества, элемента и принадлежности элемента множеству. Множество — это совокупность элементов, объединенных общим (характеристическим) свойством.

Обозначения:

A, B, C,¼, X, Y, Z — множества; a, b, c,¼, x, y, z — элементы множеств;

xÎA обозначает принадлежность элемента х множеству А;

xÏ Ax не принадлежит множеству А;

Þ — следовательно, если ¼ то;

Û — тогда и только тогда, необходимо и достаточно;

"— любой, каждый;

$ — существует.

Способы задания множеств.

— Перечислением элементов. Например, Х = {1, 2} — множество Х состоит из двух элементов: 1 и 2.

— Указанием характеристического свойства.

Например, X ={x: (x-1)(x+3) = 0} — это множество содержит два элемента — корни уравнения (x-1)(x+3) = 0, то есть числа 1 и -3.

А={(l1, … , ln) : l12 + l22 + … + ln2 = 0} — такое множество содержит единственный набор чисел, состоящий из n нулей, т. е. А={(0, 0, … , 0)}.

Введем понятия пустого множества Æ и универсального множества U.

Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента:

"х х Ï Æ.

Универсальное множество – это множество, содержащее все элементы: "х х Î U.

Например {x Î R : x2 < 0} = Æ. {x Î R : x2 ³ 0} = R = U.

Во втором примере множество вещественных чисел R играет роль универсального множества.

Рассмотрим понятия подмножества и равенства множеств.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В:

А Ì В Û (х Î А Þ х Î В)

Очевидно, что Æ Ì А, А Ì А, А Ì U для любого множества А.

Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является элементом множества В и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А:

А = В Û А Ì В и В Ì А.

2. Операции над множествами.

Объединением АÈВ двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, содержащихся либо в А, либо в В.

 

xÎAÈB Û xÎA или xÎB; xÏAÈB Û xÏA и xÏB.

Пересечением АÇВ двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, содержащихся и в А, и в В.

xÎAÇB Û xÎA и xÎB; xÏAÇB Û xÏA или xÏB.

Разностью А \ В множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

xÎA\B Û xÎA и xÏB; xÏA\B Û xÏA или xÎB.

Разность U\A называется дополнением множества А и обозначается .

xÎ Û xÏА; xÏ Û xÎA.

Свойства операций.

1. AÈB=BÈA 8.

2. AÇB=BÇA 9. A\B=AÇ

3. AÈ(BÈC)=(AÈBC 10. AÈA=AÇA=A

4. AÇ (BÇC)=(AÇBC 11. AÈÆ=A; AÇÆ=Æ

5. AÈ(BÇC)=(AÈB)Ç(AÈC) 12. AÈU=U; AÇU=A

6. AÇ (BÈC)=(AÇB)È(AÇC) 13. AÈ =U; AÇ

7. 14. =A

Доказательство свойства 6. AÇ (BÈC)=(AÇB)È(AÇC).

Возьмем xÎAÇ(BÈCxÎA и xÎ BÈCÞ xÎA и (xÎB или xÎC) Þ (xÎA и xÎB) или (xÎA и xÎC) Þ xÎAÇB или xÎAÇCxÎ(AÇB)È(AÇC).

Доказано, что . AÇ (BÈC) Ì (AÇB)È(AÇC).

Возьмем xÎ(AÇB)È(AÇC) Þ xÎAÇB или xÎAÇCÞ (xÎA и xÎB) или (xÎA и xÎC) Þ xÎA и (xÎB или xÎC) Þ xÎA и xÎ BÈCÞ xÎAÇ(BÈC).

Доказано, что AÇ (BÈC) É (AÇB)È(AÇC). Тождество доказано.

Доказательство свойства 13. AÈ =U; AÇ =Æ.

AÈ =U.

AÈ Ì U — очевидно, так как U — универсальное множество.

Докажем, что AÈ É U.

Возьмем хÎUÞ xÎA или хÏАÞ xÎA или хÎ Þ хÎ AÈ Þ U Ì AÈ . Тождество доказано.

AÇ =Æ.

Доказательство.

Предположим противное, что AÇ ¹Æ. Тогда существует хÎ AÇ Þ xÎA и хÎ Þ xÎA и хÏА. Получили противоречие. Следовательно, предположение AÇ ¹Æ неверно и AÇ =Æ.

Остальные свойства предлагается доказать самостоятельно в качестве упражнений.

 

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.

Векторы на плоскости и в пространстве можно складывать и умножать на числа. Сложение векторов производится по правилу параллелограмма: если привести векторы к общему началу, то их суммой будет вектор, имеющий то же начало и являющийся диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах. Произведением вектора на число l называется вектор l , коллинеарный вектору , направленный так же, как , если l > 0, и направленный в противоположную сторону, если l< 0, длина вектора l равна длине вектора , умноженной на .

Операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам:

+ = +

+ ( + ) = ( + ) +

l (m ) = ( l m )

( l + m ) = l + m

l ( + ) = l + l

Если векторы и заданы своими координатами = ( ) и

= ( ), то + = ( ), l = ( ).

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.

Линия на плоскости может быть задана уравнением от двух переменных

F(x, y) = 0, которому удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты ни одной другой точки. Для нахождения точек пересечения двух линий надо найти решения системы уравнений этих линий.

Линия на плоскости, а также в пространстве, может рассматриваться как траектория движения точки. В этом случае ее описывают системой параметрических уравнений для линии на плоскости или для линии в пространстве. При разных значениях параметра t получаем разные точки заданной линии. Можно использовать также векторное параметрическое уравнение линии: , где — радиус-вектор точки линии, определяемой значением параметра t.

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

Пусть даны точка М 0 (x 0, y 0) и вектор (A; B). Требуется найти уравнение прямой, проходящей через точку М 0 перпендикулярно вектору .

 

 

Возьмем на искомой прямой произвольную точку М и рассмотрим и — ради- усы-векторы точек М и М 0. Вектор лежит на прямой и, следовательно, ортогонален вектору , что равносильно векторному равенству ( = 0.

Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой. Переписав это уравнение в координатной форме, получим уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору: A (xx 0) + B (yy 0 ) = 0. В полученном уравнении x 0 и y 0 — координаты точки М 0, а A и В — координаты вектора , который называется вектором нормали прямой.

Раскрыв скобки в полученном уравнении и обозначив число – A x 0B y 0 через С, получим общее уравнение прямой: A x + B y + С = 0. В этом уравнении коэффициенты А и В при переменных являются координатами вектора нормали.

Если А = 0, то уравнение примет вид B y + С = 0, нормаль = (0; В) перпендикулярна оси ОХ, а сама прямая, следовательно, параллельна этой оси. Если В = 0, то уравнение примет вид A x + С = 0, нормаль = (А; 0) перпендикулярна оси ОY, а сама прямая, следовательно, параллельна оси ОY. Если С = 0, то уравнение A x + B y = 0 задает прямую, проходящую через начало координат.

Прямые, заданные общими уравнениями будут параллельны, если их нормали коллинеарны, и перпендикулярны, если их нормали ортогональны:

L 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, — вектор нормали,

L 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, , — вектор нормали.

L 1 ÷÷ L 2 Û ; L 1 ^ L 2 Û .

 

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ.

Углом между прямыми называется острый угол между ними.

Угол j между прямыми можно находить, используя направляющие векторы, векторы нормалей или угловые коэффициенты прямых.

Пусть прямые L 1 и L 2 заданы своими каноническими уравнениями:

L 1: = , — направляющий вектор,

L 2: = , — направляющий вектор.

Заметим, что угол между направляющими векторами равен либо углу j, либо смежному с ним тупому углу p-j, так как эти векторы направлены параллельно прямым. Поскольку cos (p-j) = - cos j, то cos j = êcos (p-j) ê. Следовательно, имеем cos j = ê ê= = .

Пусть прямые L 1 и L 2 заданы своими общими уравнениями:

L 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, — вектор нормали,

L 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, , — вектор нормали.

Заметим, что угол между векторами нормалей равен либо углу j, либо смежному с ним тупому углу p-j, так как эти векторы направлены перпендикулярно прямым. В результате получаем

cos j = êcos (p-j) ê = ê ê= = .

Пусть теперь прямые L 1 и L 2 заданы уравнениями y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2. Обозначим через a 1 и a 2 углы между прямыми L 1 и L 2 и осью ОХ. Тогда угол j между L 1 и L 2 равен j = a 1 – a 2 или j = a 2 – a 1. Следовательно,

tg j = êtg (a 1 – a 2) ê= = .

 

ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

Пусть даны точка М 0 и вектор . Требуется найти уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 перпендикулярно вектору .

Возьмем на искомой плоскости произвольную точку М и рассмотрим и — радиусы-векторы точек М и М 0. Вектор лежит на плоскости и, следовательно, ортогонален вектору , что равносильно векторному равенству ( = 0. Полученное уравнение называется векторным уравнением плоскости.

Переписав это уравнение в координатной форме, получим уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору:

A (xx 0) + B ( yy 0 ) + C (zz 0 ) = 0. В полученном уравнении x 0, y 0 и z 0 — координаты точки М 0, а А, В и С — координаты вектора , который называется вектором нормали плоскости.

Раскрыв скобки в полученном уравнении и обозначив число – A x 0B y 0С z 0 через D, получим общее уравнение плоскости: A x + B y + С z + D = 0. В этом уравнении коэффициенты А, В и С при переменных являются координатами вектора нормали.

Если А = 0, то уравнение примет вид B y + С z + D = 0, нормаль = (0; В; C) перпендикулярна оси ОХ, а сама плоскость, следовательно, параллельна этой оси. Если В = 0, то уравнение примет вид A x + С z + D = 0, нормаль = (А; 0; C) перпендикулярна оси ОY, а сама плоскость параллельна оси ОY. Если С = 0, то уравнение примет вид A x + B y + D = 0, нормаль = (А; B; 0) перпендикулярна оси ОZ, а сама плоскость параллельна оси ОZ. Если D = 0, то уравнение A x + B y + С z = 0 задает плоскость, проходящую через начало координат.

Плоскости будут параллельны, если их нормали коллинеарны, и перпендикулярны, если их нормали ортогональны:

P1: A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, — вектор нормали,

P2: A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, , — вектор нормали.

P1 ÷÷ P2 Û ; P1 ^ P2 Û .

 

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ.

Углом между плоскостями называется острый угол j между ними.

Пусть плоскости P1 и P2 заданы уравнениями:

P1: A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, — вектор нормали,

P2: A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, , — вектор нормали.

Заметим, что угол между векторами нормалей равен либо углу j, либо смежному с ним тупому углу p-j, так как эти векторы направлены перпендикулярно плоскостям. В результате получаем cos j = êcos (p-j) ê = ê ê= =

= .

 

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.

Пусть даны плоскость P: A x + B y + С z + D = 0 с вектором нормали = (А; В; С) и прямая L: = = с направляющим вектором . Напомним, что ^P, êêL.

Получим условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

L êêP Û ^ Û · = 0 Û A a 1 + B a 2 + C a 3 = 0.

L ^ P Û êê Û .

Углом j между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Заметим, что угол между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой будет равен – j либо смежному с ним тупому углу. Поэтому sin j = = ê ê= =

= .

Точка пересечения прямой и плоскости находится как решение системы уравнений данных прямой и плоскости. При этом уравнения прямой лучше взять в параметрическом виде: .

 

ПОЛУПРОСТРАНСТВА.

Пусть имеется плоскость P: A x + B y + С z + D = 0 с вектором нормали = (А; В; С).

Положительным полупространством, определяемым плоскостью P и ее нормалью называется множество точек М (x, y, z) пространства, такое, что для некоторой точки М 0 (x 0, y 0, z 0) плоскости P угол между векторами и не превышает . Поскольку для острого угла a cos a > 0, а , то данное условие можно переписать в виде , что равносильно неравенству · ³ 0. Так как = (А; В; С), а = (xx 0; yy 0, zz 0) , то получаем неравенство A ( xx 0) + B ( yy 0) + C ( zz 0) ³ 0 Û A x + B y + C zA x 0B y 0C z 0 ³ 0 Û A x + B y + С z + D ³ 0. На последнем шаге использовали равенство – A x0 B y0 C z0 = D, которое является верным, так как М 0 ÎP.

Таким образом, положительное полупространство задается неравенством A x + B y + С z + D ³ 0.

Заметим, что выбор точки М 0 не влияет на полученный результат, поскольку равенство – A x 0B y 0C z 0 = D является верным для любой точки М 0 Î P.

Отрицательным полупространством, определяемым плоскостью P и ее нормалью называется множество точек М (x, y, z) пространства, такое, что для некоторой точки М 0 (x 0, y 0, z 0) плоскости P угол между векторами – и не превышает . Повторяя приведенные выше рассуждения, получим

Û – · ³ 0.

Так как = (–А; –В; –С), а = (xx 0, yy 0, zz 0) , то получаем неравенство –A ( xx 0) – B ( yy 0) – C ( zz 0) ³ 0 Û –A xB yC z + A x 0 + B y 0 + C z 0 ³ 0 Û –Ax – By – Сz – D ³ 0 Û Ax + By + Сz + D £ 0.

Таким образом, отрицательное полупространство задается неравенством A x + B y + С z + D £ 0.

 

 

ЛЕКЦИИ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

 

 

Новосибирск 2005

СОДЕРЖАНИЕ

 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
  1. Прямоугольная система координат
  2. Векторы на плоскости и в пространстве
  3. Операции над векторами
  4. Разложение вектора по ортам
  5. Скалярное произведение векторов
  6. Векторное произведение векторов
  7. Смешанное произведение векторов
§ 2 ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 3 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
  1. Линии на плоскости
  2. Каноническое уравнение прямой на плоскости
  3. Общее уравнение прямой
  4. Уравнение прямой « в отрезках »
  5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
  6. Угол между прямыми
§ 4 ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
  1. Общее уравнение плоскости
  2. Уравнение плоскости по точке и двум векторам, параллельным плоскости
  3. Уравнение плоскости «в отрезках»
  4. Угол между плоскостями
§ 5 ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
  1. Канонические уравнения прямой
  2. Общие уравнения прямой в пространстве
  3. Прямая и плоскость
§ 6 ПОЛУПРОСТРАНСТВА И ПОЛУПЛОСКОСТИ
  1. Полупространства
  2. Расстояние от точки до плоскости
  3. Полуплоскости. Расстояние от точки до прямой

 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

В математике первичными понятиями являются понятия множества, элемента и принадлежности элемента множеству. Множество — это совокупность элементов, объединенных общим (характеристическим) свойством.

Обозначения:

A, B, C,¼, X, Y, Z — множества; a, b, c,¼, x, y, z — элементы множеств;

xÎA обозначает принадлежность элемента х множеству А;

xÏ Ax не принадлежит множеству А;

Þ — следовательно, если ¼ то;

Û — тогда и только тогда, необходимо и достаточно;

"— любой, каждый;

$ — существует.

Способы задания множеств.

— Перечислением элементов. Например, Х = {1, 2} — множество Х состоит из двух элементов: 1 и 2.

— Указанием характеристического свойства.

Например, X ={x: (x-1)(x+3) = 0} — это множество содержит два элемента — корни уравнения (x-1)(x+3) = 0, то есть числа 1 и -3.

А={(l1, … , ln) : l12 + l22 + … + ln2 = 0} — такое множество содержит единственный набор чисел, состоящий из n нулей, т. е. А={(0, 0, … , 0)}.

Введем понятия пустого множества Æ и универсального множества U.

Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента:

"х х Ï Æ.

Универсальное множество – это множество, содержащее все элементы: "х х Î U.

Например {x Î R : x2 < 0} = Æ. {x Î R : x2 ³ 0} = R = U.

Во втором примере множество вещественных чисел R играет роль универсального множества.

Рассмотрим понятия подмножества и равенства множеств.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В:

А Ì В Û (х Î А Þ х Î В)

Очевидно, что Æ Ì А, А Ì А, А Ì U для любого множества А.

Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является элементом множества В и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А:

А = В Û А Ì В и В Ì А.

2. Операции над множествами.

Объединением АÈВ двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, содержащихся либо в А, либо в В.

 

xÎAÈB Û xÎA или xÎB; xÏAÈB Û xÏA и xÏB.

Пересечением АÇВ двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, содержащихся и в А, и в В.

xÎAÇB Û xÎA и xÎB; xÏAÇB Û xÏA или xÏB.

Разностью А \ В множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

xÎA\B Û xÎA и xÏB; xÏA\B Û xÏA или xÎB.

Разность U\A называется дополнением множества А и обозначается .

xÎ Û xÏА; xÏ Û xÎA.

Свойства операций.

1. AÈB=BÈA 8.

2. AÇB=BÇA 9. A\B=AÇ

3. AÈ(BÈC)=(AÈBC 10. AÈA=AÇA=A

4. AÇ (BÇC)=(AÇBC 11. AÈÆ=A; AÇÆ=Æ

5. AÈ(BÇC)=(AÈB)Ç(AÈC) 12. AÈU=U; AÇU=A

6. AÇ (BÈC)=(AÇB)È(AÇC) 13. AÈ =U; AÇ

7. 14. =A

Доказательство свойства 6. AÇ (BÈC)=(AÇB)È(AÇC).

Возьмем xÎAÇ(BÈCxÎA и xÎ BÈCÞ xÎA и (xÎB или xÎC) Þ (xÎA и xÎB) или (xÎA и xÎC) Þ xÎAÇB или xÎAÇCxÎ(AÇB)È(AÇC).

Доказано, что . AÇ (BÈC) Ì (AÇB)È(AÇC).

Возьмем xÎ(AÇB)È(AÇC) Þ xÎAÇB или xÎAÇCÞ (xÎA и xÎB) или (xÎA и xÎC) Þ xÎA и (xÎB или xÎC) Þ xÎA и xÎ BÈCÞ xÎAÇ(BÈC).

Доказано, что AÇ (BÈC) É (AÇB)È(AÇC). Тождество доказано.

Доказательство свойства 13. AÈ =U; AÇ =Æ.

AÈ =U.

AÈ Ì U — очевидно, так как U — универсальное множество.

Докажем, что AÈ É U.

Возьмем хÎUÞ xÎA или хÏАÞ xÎA или хÎ Þ хÎ AÈ Þ U Ì AÈ . Тождество доказано.

AÇ =Æ.

Доказательство.

Предположим противное, что AÇ ¹Æ. Тогда существует хÎ AÇ Þ xÎA и хÎ Þ xÎA и хÏА. Получили противоречие. Следовательно, предположение AÇ ¹Æ неверно и AÇ =Æ.

Остальные свойства предлагается доказать самостоятельно в качестве упражнений.

 

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.

Определения.

— Прямая, на которой определено направление, называется осью.

— Отрезок на оси, ограниченный точками А и В, называется направленным, если определено, какая из этих точек считается его началом, какая концом.

Направление отрезка — направление от его начала к его концу. Обозначается направленный отрезок .

Величиной АВ направленного отрезка называется его длина, взятая со знаком « + », если отрезок и ось одинаково направлены, и со знаком « - » в противном случае. Таким образом, АВ = - ВА.



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.16.13 (0.012 с.)