Прямоугольная система координат.

ЛЕКЦИИ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

 

 

Новосибирск 2005

СОДЕРЖАНИЕ

 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1	ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
	1.	Прямоугольная система координат
	2.	Векторы на плоскости и в пространстве
	3.	Операции над векторами
	4.	Разложение вектора по ортам
	5.	Скалярное произведение векторов
	6.	Векторное произведение векторов
	7.	Смешанное произведение векторов
§ 2	ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 3	ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
	1.	Линии на плоскости
	2.	Каноническое уравнение прямой на плоскости
	3.	Общее уравнение прямой
	4.	Уравнение прямой «в отрезках»
	5.	Уравнение прямой с угловым коэффициентом
	6.	Угол между прямыми
§ 4	ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
	1.	Общее уравнение плоскости
	2.	Уравнение плоскости по точке и двум векторам, параллельным плоскости
	3.	Уравнение плоскости «в отрезках»
	4.	Угол между плоскостями
§ 5	ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
	1.	Канонические уравнения прямой
	2.	Общие уравнения прямой в пространстве
	3.	Прямая и плоскость
§ 6	ПОЛУПРОСТРАНСТВА И ПОЛУПЛОСКОСТИ
	1.	Полупространства
	2.	Расстояние от точки до плоскости
	3.	Полуплоскости. Расстояние от точки до прямой

 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

В математике первичными понятиями являются понятия множества, элемента и принадлежности элемента множеству. Множество — это совокупность элементов, объединенных общим (характеристическим) свойством.

Обозначения:

A, B, C,¼, X, Y, Z — множества; a, b, c,¼, x, y, z — элементы множеств;

x Î A обозначает принадлежность элемента х множеству А;

x Ï A — x не принадлежит множеству А;

Þ — следовательно, если ¼ то;

Û — тогда и только тогда, необходимо и достаточно;

"— любой, каждый;

$ — существует.

Способы задания множеств.

— Перечислением элементов. Например, Х = {1, 2} — множество Х состоит из двух элементов: 1 и 2.

— Указанием характеристического свойства.

Например, X ={ x: (x -1)(x +3) = 0} — это множество содержит два элемента — корни уравнения (x -1)(x +3) = 0, то есть числа 1 и -3.

А ={(l₁, …, l_n): l₁² + l₂² + … + l_n² = 0} — такое множество содержит единственный набор чисел, состоящий из n нулей, т. е. А ={(0, 0, …, 0)}.

Введем понятия пустого множества Æ и универсального множества U.

Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента:

" х х Ï Æ.

Универсальное множество – это множество, содержащее все элементы: " х х Î U.

Например { x Î R: x ² < 0} = Æ. { x Î R: x ² ³ 0} = R = U.

Во втором примере множество вещественных чисел R играет роль универсального множества.

Рассмотрим понятия подмножества и равенства множеств.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В:

А Ì В Û (х Î А Þ х Î В)

Очевидно, что Æ Ì А, А Ì А, А Ì U для любого множества А.

Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является элементом множества В и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А:

А = В Û А Ì В и В Ì А.

2. Операции над множествами.

Объединением А È В двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, содержащихся либо в А, либо в В.

 

x Î A È B Û x Î A или x Î B; x Ï A È B Û x Ï A и x Ï B.

Пересечением А Ç В двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, содержащихся и в А, и в В.

x Î A Ç B Û x Î A и x Î B; x Ï A Ç B Û x Ï A или x Ï B.

Разностью А \ В множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

x Î A \ B Û xÎ A и x Ï B; x Ï A \ B Û x Ï A или x Î B.

Разность U \ A называется дополнением множества А и обозначается .

x Î Û x Ï А; x Ï Û x Î A.

Свойства операций.

1. A È B = B È A 8.

2. A Ç B = B Ç A 9. A \ B = A Ç

3. A È(B È C)=(A È B)È C 10. A È A = A Ç A = A

4. A Ç (B Ç C)=(A Ç B)Ç C 11. A ÈÆ= A; A ÇÆ=Æ

5. A È(B Ç C)=(A È B)Ç(A È C) 12. A È U = U; A Ç U = A

6. A Ç (B È C)=(A Ç B)È(A Ç C) 13. A È =U; A Ç =Æ

7. 14. = A

Доказательство свойства 6. A Ç (B È C)=(A Ç B)È(A Ç C).

Возьмем x Î A Ç(B È C)Þ x Î A и x Î B È C Þ x Î A и (x Î B или x Î C) Þ (x Î A и x Î B) или (x Î A и x Î C) Þ x Î A Ç B или x Î A Ç C)Þ x Î(A Ç B)È(A Ç C).

Доказано, что. A Ç (B È C) Ì (A Ç B)È(A Ç C).

Возьмем x Î(AÇ B)È(A Ç C) Þ x Î A Ç B или x Î A Ç C Þ (xÎ A и x Î B) или (x Î A и x Î C) Þ xÎ A и (x Î B или x Î C) Þ x Î A и x Î B È C Þ x Î A Ç(B È C).

Доказано, что A Ç (B È C) É (A Ç B)È(A Ç C). Тождество доказано.

Доказательство свойства 13. A È = U; A Ç =Æ.

A È = U.

A È Ì U — очевидно, так как U — универсальное множество.

Докажем, что A È É U.

Возьмем х Î U Þ x Î A или х Ï А Þ x Î A или х Î Þ х Î A È Þ U Ì A È . Тождество доказано.

A Ç =Æ.

Доказательство.

Предположим противное, что A Ç ¹Æ. Тогда существует х Î A Ç Þ x Î A и х Î Þ x Î A и х Ï А. Получили противоречие. Следовательно, предположение A Ç ¹Æ неверно и A Ç =Æ.

Остальные свойства предлагается доказать самостоятельно в качестве упражнений.

 

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.

Векторы на плоскости и в пространстве можно складывать и умножать на числа. Сложение векторов производится по правилу параллелограмма: если привести векторы к общему началу, то их суммой будет вектор, имеющий то же начало и являющийся диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах. Произведением вектора на число l называется вектор l , коллинеарный вектору , направленный так же, как , если l > 0, и направленный в противоположную сторону, если l< 0, длина вектора l равна длине вектора , умноженной на .

Операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам:

+ = +

+ ( + ) = ( + ) +

l (m ) = (l m)

(l + m) = l + m

l ( + ) = l + l

Если векторы и заданы своими координатами = () и

= (), то + = (), l = ().

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.

Линия на плоскости может быть задана уравнением от двух переменных

F (x, y) = 0, которому удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты ни одной другой точки. Для нахождения точек пересечения двух линий надо найти решения системы уравнений этих линий.

Линия на плоскости, а также в пространстве, может рассматриваться как траектория движения точки. В этом случае ее описывают системой параметрических уравнений для линии на плоскости или для линии в пространстве. При разных значениях параметра t получаем разные точки заданной линии. Можно использовать также векторное параметрическое уравнение линии: , где — радиус-вектор точки линии, определяемой значением параметра t.

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

Пусть даны точка М ₀ (x ₀, y ₀) и вектор (A; B). Требуется найти уравнение прямой, проходящей через точку М ₀ перпендикулярно вектору .

 

 

Возьмем на искомой прямой произвольную точку М и рассмотрим и — ради- усы-векторы точек М и М ₀. Вектор лежит на прямой и, следовательно, ортогонален вектору , что равносильно векторному равенству ( – )· = 0.

Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой. Переписав это уравнение в координатной форме, получим уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору: A (x – x ₀) + B (y – y ₀ ) = 0. В полученном уравнении x ₀ и y ₀ — координаты точки М ₀, а A и В — координаты вектора , который называется вектором нормали прямой.

Раскрыв скобки в полученном уравнении и обозначив число – A x ₀ – B y ₀ через С, получим общее уравнение прямой: A x + B y + С = 0. В этом уравнении коэффициенты А и В при переменных являются координатами вектора нормали.

Если А = 0, то уравнение примет вид B y + С = 0, нормаль = (0; В) перпендикулярна оси ОХ, а сама прямая, следовательно, параллельна этой оси. Если В = 0, то уравнение примет вид A x + С = 0, нормаль = (А; 0) перпендикулярна оси ОY, а сама прямая, следовательно, параллельна оси ОY. Если С = 0, то уравнение A x + B y = 0 задает прямую, проходящую через начало координат.

Прямые, заданные общими уравнениями будут параллельны, если их нормали коллинеарны, и перпендикулярны, если их нормали ортогональны:

L ₁: A ₁ x + B ₁ y + C ₁ = 0, — вектор нормали,

L ₂: A ₂ x + B ₂ y + C ₂ = 0, , — вектор нормали.

L ₁ ÷÷ L ₂ Û ; L ₁ ^ L ₂ Û .

 

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ.

Углом между прямыми называется острый угол между ними.

Угол j между прямыми можно находить, используя направляющие векторы, векторы нормалей или угловые коэффициенты прямых.

Пусть прямые L ₁ и L ₂ заданы своими каноническими уравнениями:

L ₁: = , — направляющий вектор,

L ₂: = , — направляющий вектор.

Заметим, что угол между направляющими векторами равен либо углу j, либо смежному с ним тупому углу p-j, так как эти векторы направлены параллельно прямым. Поскольку cos (p-j) = - cos j, то cos j = êcos (p-j) ê. Следовательно, имеем cos j = ê ê= = .

Пусть прямые L ₁ и L ₂ заданы своими общими уравнениями:

L ₁: A ₁ x + B ₁ y + C ₁ = 0, — вектор нормали,

L ₂: A ₂ x + B ₂ y + C ₂ = 0, , — вектор нормали.

Заметим, что угол между векторами нормалей равен либо углу j, либо смежному с ним тупому углу p-j, так как эти векторы направлены перпендикулярно прямым. В результате получаем

cos j = êcos (p-j) ê = ê ê= = .

Пусть теперь прямые L ₁ и L ₂ заданы уравнениями y = k ₁ x + b ₁ и y = k ₂ x + b ₂. Обозначим через a ₁ и a ₂ углы между прямыми L ₁ и L ₂ и осью ОХ. Тогда угол j между L ₁ и L ₂ равен j = a ₁ – a ₂ или j = a ₂ – a ₁. Следовательно,

tg j = êtg (a ₁ – a ₂) ê= = .

 

ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

Пусть даны точка М ₀ и вектор . Требуется найти уравнение плоскости, проходящей через точку М ₀ перпендикулярно вектору .

Возьмем на искомой плоскости произвольную точку М и рассмотрим и — радиусы-векторы точек М и М ₀. Вектор лежит на плоскости и, следовательно, ортогонален вектору , что равносильно векторному равенству ( – )· = 0. Полученное уравнение называется векторным уравнением плоскости.

Переписав это уравнение в координатной форме, получим уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору:

A (x – x ₀) + B (y – y ₀ ) + C (z – z ₀) = 0. В полученном уравнении x ₀, y ₀ и z ₀ — координаты точки М ₀, а А, В и С — координаты вектора , который называется вектором нормали плоскости.

Раскрыв скобки в полученном уравнении и обозначив число – A x ₀ – B y ₀ – С z ₀ через D, получим общее уравнение плоскости: A x + B y + С z + D = 0. В этом уравнении коэффициенты А, В и С при переменных являются координатами вектора нормали.

Если А = 0, то уравнение примет вид B y + С z + D = 0, нормаль = (0; В; C) перпендикулярна оси ОХ, а сама плоскость, следовательно, параллельна этой оси. Если В = 0, то уравнение примет вид A x + С z + D = 0, нормаль = (А; 0; C) перпендикулярна оси ОY, а сама плоскость параллельна оси ОY. Если С = 0, то уравнение примет вид A x + B y + D = 0, нормаль = (А; B; 0) перпендикулярна оси ОZ, а сама плоскость параллельна оси ОZ. Если D = 0, то уравнение A x + B y + С z = 0 задает плоскость, проходящую через начало координат.

Плоскости будут параллельны, если их нормали коллинеарны, и перпендикулярны, если их нормали ортогональны:

P ₁: A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0, — вектор нормали,

P ₂: A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0, , — вектор нормали.

P ₁ ÷÷ P ₂ Û ; P ₁ ^ P ₂ Û .

 

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ.

Углом между плоскостями называется острый угол j между ними.

Пусть плоскости P ₁ и P ₂ заданы уравнениями:

P ₁: A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0, — вектор нормали,

P ₂: A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0, , — вектор нормали.

Заметим, что угол между векторами нормалей равен либо углу j, либо смежному с ним тупому углу p-j, так как эти векторы направлены перпендикулярно плоскостям. В результате получаем cos j = êcos (p-j) ê = ê ê= =

= .

 

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ.

Пусть даны плоскость P: A x + B y + С z + D = 0 с вектором нормали = (А; В; С) и прямая L: = = с направляющим вектором . Напомним, что ^ P, êê L.

Получим условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

L êê P Û ^ Û · = 0 Û A a ₁ + B a ₂ + C a ₃ = 0.

L ^ P Û êê Û .

Углом j между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Заметим, что угол между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой будет равен – j либо смежному с ним тупому углу. Поэтому sin j = = ê ê= =

= .

Точка пересечения прямой и плоскости находится как решение системы уравнений данных прямой и плоскости. При этом уравнения прямой лучше взять в параметрическом виде: .

 

ПОЛУПРОСТРАНСТВА.

Пусть имеется плоскость P: A x + B y + С z + D = 0 с вектором нормали = (А; В; С).

Положительным полупространством, определяемым плоскостью P и ее нормалью называется множество точек М (x, y, z) пространства, такое, что для некоторой точки М ₀ (x ₀, y ₀, z ₀) плоскости P угол между векторами и не превышает . Поскольку для острого угла a cos a > 0, а , то данное условие можно переписать в виде , что равносильно неравенству · ³ 0. Так как = (А; В; С), а = (x – x ₀; y – y ₀, z – z ₀), то получаем неравенство A (x – x ₀) + B (y – y ₀) + C (z – z ₀) ³ 0 Û A x + B y + C z – A x ₀ – B y ₀ – C z ₀ ³ 0 Û A x + B y + С z + D ³ 0. На последнем шаге использовали равенство – A x ₀ – B y ₀ – C z ₀ = D, которое является верным, так как М ₀ Î P.

Таким образом, положительное полупространство задается неравенством A x + B y + С z + D ³ 0.

Заметим, что выбор точки М ₀ не влияет на полученный результат, поскольку равенство – A x ₀ – B y ₀ – C z ₀ = D является верным для любой точки М ₀ Î P.

Отрицательным полупространством, определяемым плоскостью P и ее нормалью называется множество точек М (x, y, z) пространства, такое, что для некоторой точки М ₀ (x ₀, y ₀, z ₀) плоскости P угол между векторами – и не превышает . Повторяя приведенные выше рассуждения, получим

Û – · ³ 0.

Так как = (– А; – В; – С), а = (x – x ₀, y – y ₀, z – z ₀), то получаем неравенство – A (x – x ₀) – B (y – y ₀) – C (z – z ₀) ³ 0 Û – A x – B y – C z + A x ₀ + B y ₀ + C z ₀ ³ 0 Û –Ax – By – Сz – D ³ 0 Û Ax + By + Сz + D £ 0.

Таким образом, отрицательное полупространство задается неравенством A x + B y + С z + D £ 0.

 

 

ЛЕКЦИИ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

 

 

Новосибирск 2005

СОДЕРЖАНИЕ

 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1	ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
	1.	Прямоугольная система координат
	2.	Векторы на плоскости и в пространстве
	3.	Операции над векторами
	4.	Разложение вектора по ортам
	5.	Скалярное произведение векторов
	6.	Векторное произведение векторов
	7.	Смешанное произведение векторов
§ 2	ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 3	ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
	1.	Линии на плоскости
	2.	Каноническое уравнение прямой на плоскости
	3.	Общее уравнение прямой
	4.	Уравнение прямой «в отрезках»
	5.	Уравнение прямой с угловым коэффициентом
	6.	Угол между прямыми
§ 4	ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
	1.	Общее уравнение плоскости
	2.	Уравнение плоскости по точке и двум векторам, параллельным плоскости
	3.	Уравнение плоскости «в отрезках»
	4.	Угол между плоскостями
§ 5	ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
	1.	Канонические уравнения прямой
	2.	Общие уравнения прямой в пространстве
	3.	Прямая и плоскость
§ 6	ПОЛУПРОСТРАНСТВА И ПОЛУПЛОСКОСТИ
	1.	Полупространства
	2.	Расстояние от точки до плоскости
	3.	Полуплоскости. Расстояние от точки до прямой

 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

В математике первичными понятиями являются понятия множества, элемента и принадлежности элемента множеству. Множество — это совокупность элементов, объединенных общим (характеристическим) свойством.

Обозначения:

A, B, C,¼, X, Y, Z — множества; a, b, c,¼, x, y, z — элементы множеств;

x Î A обозначает принадлежность элемента х множеству А;

x Ï A — x не принадлежит множеству А;

Þ — следовательно, если ¼ то;

Û — тогда и только тогда, необходимо и достаточно;

"— любой, каждый;

$ — существует.

Способы задания множеств.

— Перечислением элементов. Например, Х = {1, 2} — множество Х состоит из двух элементов: 1 и 2.

— Указанием характеристического свойства.

Например, X ={ x: (x -1)(x +3) = 0} — это множество содержит два элемента — корни уравнения (x -1)(x +3) = 0, то есть числа 1 и -3.

А ={(l₁, …, l_n): l₁² + l₂² + … + l_n² = 0} — такое множество содержит единственный набор чисел, состоящий из n нулей, т. е. А ={(0, 0, …, 0)}.

Введем понятия пустого множества Æ и универсального множества U.

Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента:

" х х Ï Æ.

Универсальное множество – это множество, содержащее все элементы: " х х Î U.

Например { x Î R: x ² < 0} = Æ. { x Î R: x ² ³ 0} = R = U.

Во втором примере множество вещественных чисел R играет роль универсального множества.

Рассмотрим понятия подмножества и равенства множеств.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В:

А Ì В Û (х Î А Þ х Î В)

Очевидно, что Æ Ì А, А Ì А, А Ì U для любого множества А.

Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является элементом множества В и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А:

А = В Û А Ì В и В Ì А.

2. Операции над множествами.

Объединением А È В двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, содержащихся либо в А, либо в В.

 

x Î A È B Û x Î A или x Î B; x Ï A È B Û x Ï A и x Ï B.

Пересечением А Ç В двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, содержащихся и в А, и в В.

x Î A Ç B Û x Î A и x Î B; x Ï A Ç B Û x Ï A или x Ï B.

Разностью А \ В множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

x Î A \ B Û xÎ A и x Ï B; x Ï A \ B Û x Ï A или x Î B.

Разность U \ A называется дополнением множества А и обозначается .

x Î Û x Ï А; x Ï Û x Î A.

Свойства операций.

1. A È B = B È A 8.

2. A Ç B = B Ç A 9. A \ B = A Ç

3. A È(B È C)=(A È B)È C 10. A È A = A Ç A = A

4. A Ç (B Ç C)=(A Ç B)Ç C 11. A ÈÆ= A; A ÇÆ=Æ

5. A È(B Ç C)=(A È B)Ç(A È C) 12. A È U = U; A Ç U = A

6. A Ç (B È C)=(A Ç B)È(A Ç C) 13. A È =U; A Ç =Æ

7. 14. = A

Доказательство свойства 6. A Ç (B È C)=(A Ç B)È(A Ç C).

Возьмем x Î A Ç(B È C)Þ x Î A и x Î B È C Þ x Î A и (x Î B или x Î C) Þ (x Î A и x Î B) или (x Î A и x Î C) Þ x Î A Ç B или x Î A Ç C)Þ x Î(A Ç B)È(A Ç C).

Доказано, что. A Ç (B È C) Ì (A Ç B)È(A Ç C).

Возьмем x Î(AÇ B)È(A Ç C) Þ x Î A Ç B или x Î A Ç C Þ (xÎ A и x Î B) или (x Î A и x Î C) Þ xÎ A и (x Î B или x Î C) Þ x Î A и x Î B È C Þ x Î A Ç(B È C).

Доказано, что A Ç (B È C) É (A Ç B)È(A Ç C). Тождество доказано.

Доказательство свойства 13. A È = U; A Ç =Æ.

A È = U.

A È Ì U — очевидно, так как U — универсальное множество.

Докажем, что A È É U.

Возьмем х Î U Þ x Î A или х Ï А Þ x Î A или х Î Þ х Î A È Þ U Ì A È . Тождество доказано.

A Ç =Æ.

Доказательство.

Предположим противное, что A Ç ¹Æ. Тогда существует х Î A Ç Þ x Î A и х Î Þ x Î A и х Ï А. Получили противоречие. Следовательно, предположение A Ç ¹Æ неверно и A Ç =Æ.

Остальные свойства предлагается доказать самостоятельно в качестве упражнений.

 

 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.

Определения.

— Прямая, на которой определено направление, называется осью.

— Отрезок на оси, ограниченный точками А и В, называется направленным, если определено, какая из этих точек считается его началом, какая концом.

— Направление отрезка — направление от его начала к его концу. Обозначается направленный отрезок .

— Величиной АВ направленного отрезка называется его длина, взятая со знаком «+», если отрезок и ось одинаково направлены, и со знаком «-» в противном случае. Таким образом, АВ = - ВА.