Векторное произведение векторов.

Понятие векторного произведения вводится только для векторов в пространстве.

Векторным произведением ´ двух ненулевых векторов и называется вектор , удовлетворяющий трем условиям:

1. ^ , ^ ;

2. тройка векторов , , является правой;

3. длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними: .

Геометрический смысл векторного произведения: длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Свойства векторного произведения.

1) ´ = – ´ ;

2) l ´ = ´ l =l ( ´ );

3) ´ ( + ) = ´ + ´ ;

4) Если ¹ и ¹ , то ´ = Û êê .

Следствия:

´ = ´ = ´ = ;

´ = ; ´ = ; ´ = ; ´ = – ; ´ = – ; ´ = – .

Если векторы и заданы своими координатами = ,

 

= , то для вычисления векторного произведения ´ используется формула = ´ = = – + =

= – + . Здесь использованы понятия определителей второго и третьего порядков, которые изучаются в теме «Линейная алгебра».

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Понятие смешанного произведения определено только для векторов в пространстве.

Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и : = · ( ´ ).

Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и . Действительно, = · ( ´ ) = , где a — угол между вектором и вектором ´ , который перпендикулярен плоскости, содержащей векторы и . В силу последнего произведение равно высоте параллелепипеда, взятой со знаком «+», если угол a острый, и со знаком «–», если угол a тупой. Длина вектора ´ равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , который является основанием нашего параллелепипеда. В результате вышесказанного = = S _{основания} · h = V _{параллелепипеда}. Если рассмотреть пирамиду, построенную на векторах , и , то ее объем будет равен .

Смешанное произведение векторов используется для проверки компланарности векторов:

векторы , и компланарны Û = 0.

Как вычислить смешанное произведение векторов , и , если векторы , и заданы своими координатами: = , = ,

= ?

= · ( ´ ) = () · =

= () · =

= = .

Следствие.

Векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда = 0.

 

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

 

ЗАДАЧА 1. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ.

Расстояние между точками M ₁ (x ₁, y ₁, z ₁) и M ₂ (x ₂, y ₂, z ₂) вычисляется как длина вектора . Поскольку вектор имеет координаты (x ₂ – x ₁, y ₂ – y ₁, z ₂ – z ₁), то его длина, равная расстоянию между точками М ₁ и М ₂, вычисляется по формуле .

Для точек на плоскости = (x₂ – x₁, y₂ – y₁) и .

ЗАДАЧА 2. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ОТНОШЕНИИ l.

Даны точки M ₁ (x ₁, y ₁, z ₁) и M ₂ (x ₂, y ₂, z ₂).

Найти координаты точки М (x, y, z), делящей отрезок М ₁ М ₂ в отношении l, если l = , где М ₁ М и М М ₂ величины направленных отрезков и .

Если точка М лежит между точками М ₁ и М ₂, то отрезки и одинаково направлены и l > 0. Если же точка М лежит на прямой М _{1 М 2} левее М ₁ или правее М ₂, то отрезки и направлены в разные стороны и

l < 0. Поскольку для величин отрезков и справедливо соотношение

М _{1 М} = l М М ₂, а векторы и коллинеарны, то эти векторы связаны равенством = l .

В координатной форме это равенство равносильно системе , которая имеет решение , , .

Если точка М делит отрезок М _{1 М 2} пополам, то l = 1 и координаты точки М вычисляются по формулам , , .

Для точек М _1, М ₂ и М, расположенных на плоскости и имеющих по две координаты, полученные формулы имеют вид , .

 

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.

Линия на плоскости может быть задана уравнением от двух переменных

F (x, y) = 0, которому удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты ни одной другой точки. Для нахождения точек пересечения двух линий надо найти решения системы уравнений этих линий.

Линия на плоскости, а также в пространстве, может рассматриваться как траектория движения точки. В этом случае ее описывают системой параметрических уравнений для линии на плоскости или для линии в пространстве. При разных значениях параметра t получаем разные точки заданной линии. Можно использовать также векторное параметрическое уравнение линии: , где — радиус-вектор точки линии, определяемой значением параметра t.