Модуль 6. Неопределенный интеграл.

Содержание модуля.

Тема 6. 1. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Интегрирование заменой переменной и по частям.

Тема 6. 2. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.

Методические указания по его изучению.

После изучения по учебникам теоретического материала разберите реше-

ние примеров 11 - 13.

Для справок приведем следующую таблицу основных неопределенных интегралов.

(I) , где n ≠ - 1.

(II) .

(III) .

(IV) .

(V) .

(VI) .

(VII) .

(VIII) .

(IX) .

(X) .

(XI) .

(XII) .

(XIII ) ,

где F (x) – первообразная для f (x).

 

Пример 11. Вычислить неопределенные интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Чтобы данный интеграл привести к табличному, положим . Тогда и .

Имеем

.

 

б) Для вычисления интеграла введем подстановку sinx = t.

Имеем cosxdx = dt.

Тогда

.

в) Под знаком интеграла имеем неправильную рациональную дробь (числитель – многочлен пятой степени, знаменатель – второй). Разделив многочлен на , в частном получим

и в остатке .

Тогда

.

Правильную рациональную дробь представим в виде сле-

дующей суммы элементарных дробей:

.

После приведения в последнем равенстве к общему знаменателю

получаем тождество

; .

Имеем , отсюда , .

Следовательно,

и

.

Пример 12. Вычислить интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а)Выделяем в знаменателе дроби полный квадрат и применяем формулу (ХI).

= = =

 

= = = .

 

б) Выделим в числителе дроби производную ее знаменателя,

то есть выражение 4 х – 5, преобразуем дробь, применяем формулы (II) и (ХI).

 

= = +

+ = + =

= + .

в) Выделим в числителе дроби производную трехчлена , то есть , преобразуем подынтегральную дробь, применяем формулы (I) и (IX).

= = –

+ С = + С.

 

Пример 13. Вычислить интегралы:

а) ; б) .

Решение. Применяем формулу интегрирования по частям: .

а) Положим . Тогда .

По формуле интегрирования по частям получаем:

= =

=

б) Пусть u =x ², dv = sinxdx, тогда du = 2 xdx, .

По приведенной выше формуле имеем:

.

Последний интеграл вычислим этим же способом, положив

u = x, dv = cosxdx, откуда du = dx, v = sinx.

Тогда

.

Имеем

.

Вопросы для самоконтроля.

1. Сформулируйте определение первообразной функции.

2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?

3. Каков геометрический смысл неопределенного интеграла?

4. Перечислите свойства неопределенного интеграла.

5. Напишите формулы таблицы основных интегралов.

6. В чем сущность метода замены переменной при вычислении неопределенных интегралов?

7. Напишите формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

8. Укажите типы интегралов, вычисление которых целесообразно производить при помощи метода интегрирования по частям.

9. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.

10. Изложите методы интегрирования простейших рациональных дробей.

 

2. 6. 4. Задания для самостоятельной работы

Вычислить неопределенные интегралы.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9.