Модуль 7. Определенный интеграл.

Содержание модуля.

Тема 7. 1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Методы вычисления определенного интеграла по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства.

Тема 7. 2. Приложение определенного интеграла.

 

Методические указания по его изучению.

После изучения по учебникам теоретического материала разберите реше-

ние примеров 13 - 16.

Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения данной параболы и

прямой (рис. 5):

, , , .

 

Имеем = .

Рис. 5

 

Пример 14. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной полуволны синусоиды y = sinx.

Решение. Если криволинейная трапеция,ограниченная сверху кри-

вой , прямыми х = а, x = b и осью Ох, вращается вокруг оси Ох, то объем V тела вращения равен

.

Имеем:

.

Пример15. Найти площадь поверхности эллипсоида, образованного

вращением вокруг оси Ох эллипса .

Решение. Если непрерывная на отрезке кривая вращается вокруг оси Ох, то площадь S поверхности вращения вычисляется по формуле

. (1)

Из уравнения эллипса находим , откуда . По формуле (1) имеем

.

Для вычисления последнего интеграла применим подстановку

, откуда . Если х = 0, то t = 0; при х = 2.

Тогда

.

 

Пример 16. Найти координаты центра тяжести однородной плоской

фигуры, ограниченной линиями , х = 4.

Решение. Координаты центра тяжести однородной криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми х = а,

x = b и осью Ох, определяются по формулам

; (1) (2),

где S – площадь криволинейной трапеции.

Данная фигура (рис. 6) симметрична относительно оси Ох.

Ее центр тяжести находится на этой оси, поэтому . Найдем площадь S фигуры: . По формуле (1) имеем

 

Рис. 6

 

.

Итак, точка − центр тяжести данной фигуры.

 

Вопросы для самоконтроля.

1. Назовите задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

2. Напишите интегральную сумму для функции на отрезке

.

3. Что называется определенным интегралом от функции на отрезке ?

4. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

5. Перечислите свойства определенного интеграла.

6. Чему равна производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования?

7. Напишите формулу Ньютона – Лейбница.

8. Напишите формулу замены переменной в определенном интеграле.

9. Чему равен интеграл , если есть четная функция? нечетная функция?

10. Напишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

11. Сформулируйте определение несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования.

12. Сформулируйте определение несобственного интеграла от разрывной функции.

13. В каком случае несобственный интеграл называется сходящимся? расходящимся?

14. Как вычисляется площадь плоской фигуры в прямоугольной системе координат с помощью определенного интеграла?

15. Напишите формулы для вычисления объемов тел, образованных вращением плоской фигуры вокруг оси Ох; оси Оу.

 

2. 7. 4. Задания для самостоятельной работы

Вычислить определенные интегралы.

1. . 2. . 3.

4. . 5. . 6. .