Модуль 8. Функции многих независимых переменных.

Содержание модуля.

Тема 8. 1. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Неявные функции. Теоремы существования. Дифференцирование неявных функций.

Тема 8. 2. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия. Метод наименьших квадратов.

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Примеры применений при поиске оптимальных решений.

 

Методические указания по его изучению.

После изучения по учебникам теоретического материала разберите реше-

ние примера 17.

Пример 17. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение. Применим достаточный признак экстремума функции двух независимых переменных, состоящий в следующем.

Пусть - критическая точка функции , имеющей непрерывные частные производные первого и второго порядков.

Обозначим , , и составим определитель

.

Если ∆ > 0, то есть точка экстремума, причем при А > 0 – минимума, при А < 0 – максимума.

Если ∆ < 0, в точке экстремума нет.

При ∆ = 0 – требуется дополнительное исследование.

Находим частные производные и , каждую из них приравняем к нулю и решаем полученную систему уравнений:

; .

Решение системы уравнений дает х ₁ = − 12, у ₁ = − 6,

, .

Следовательно, данная функция имеет две критические точки:

, .

Найдем частные производные второго порядка:

, , .

Для точки Р ₁ имеем А = −4, В = 9, С = −36, ∆ = 63. Так ∆ > 0 и А < 0,

то в точке Р ₁(−12, −6) данная функция имеет максимум: .

Для точки Р ₂ имеем А = −4, В = 9, С = −4,5, ∆ = − 63. Так как ∆ < 0, то

в этой точке экстремума нет.

 

Вопросы для самоконтроля.

 

1. Сформулируйте определение функции двух, трех и большего числа независимых переменных.

2. Что называется областью определения функции двух независимых переменных?

3. Каково геометрическое изображение функции двух переменных?

4. Сформулируйте определение предела функции двух переменных.

5. Что называется частным и полным приращениями функции двух переменных?

6. Какая функция двух переменных называется непрерывной в точке? в области?

7. Сформулируйте определение частных производных первого порядка функции двух независимых переменных. Каков их геометрический смысл?

8. Что называется полным дифференциалом функции двух переменных?

9. Как найти частные производные второго порядка функции двух переменных?

10. Что называется экстремумом функции двух независимых перемен-

ных?

11. Сформулируйте необходимое условие существования экстремума функции двух переменных.

12. Сформулируйте достаточный признак экстремума функции двух переменных.

 

2. 8. 4. Задания для самостоятельной работы

В задачах 1 – 4найти частные производные первого порядка указанных функций:

1. . 2. . 3. .

4. .

В задачах 5 – 7найти частные производные второго порядка указанных функций.

5. . 6. . 7. .

В задачах 8 – 10исследовать на экстремум следующие функции:

8. .

9. .

10. .