Модуль 2. Введение в математический анализ.

Содержание модуля.

Тема 2. 1. Множество вещественных чисел. Функция. Область ее определения. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и гра-

фики. Сложные и обратные функции. Числовая последовательность и ее предел. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Предел функции в точке и в бесконечности. Первый и второй замечательные пределы. Свойства пределов функции. Бесконечно малые величины. Их свойства. Сравнение бесконечно малых.

Тема 2. 2. Непрерывность функции в точке и на интервале. Точки разрыва функции. Непрерывность основных элементарных функций. Свойства функции непрерывных на отрезке.

 

Методические указания по его изучению.

После изучения по учебникам теоретического материала разберите реше-

ние примера 5.

 

Пример 5. Вычислить пределы:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

Решение. а) При х = –3 числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, обращаются в нуль, то есть имеем неопределенность . Для ее устранения разложим числитель и знаменатель дроби на произведение линейных множителей и сократим дробь:

.

б) При стремлении х к бесконечности получаем неопределенность вида .Для устранения подобной неопределенности дробной рациональной функции следует числитель и знаменатель дроби разделить на хⁿ, где n – наивысшая степень многочленов числителя и знаменателя дроби.

Деля числитель и знаменатель данной дроби на х ³ и применяя теоре-

мы о пределах и свойства бесконечно малых функций, имеем:

.

в) При х = –3 получаем неопределенность вида . Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, им сопряженные, то есть на произведение .

= .

 

г) Пусть arcsin2x = y. Тогда 2 x = siny, y → 0 при х → 0.

Тогда

.

Здесь применялась формула первого замечательного предела

.

д) При х → ∞ выражение, стоящее под знаком предела, есть неопределенность вида 1^∞. Представим это выражение в виде суммы единицы и бесконечно малой при х → ∞ величины: .

Обозначим . Отсюда ; ; . Если х → ∞, то у → - ∞.

Таким образом, искомый предел имеет вид:

.

Здесь применялась формула второго замечательного предела

.

 

Вопросы для самоконтроля.

 

1. Какая величина называется постоянной? переменной?

2. Что называется функцией одной независимой переменной?

3. Что называется областью существования (определения) функции?

4. Назовите способы задания функции.

5. Какая функция называется явной? неявной?

6. Какая функция называется возрастающей? убывающей?

7. Какая функция называется четной? нечетной?

8. Какая функция называется периодической?

9. Какая функция называется элементарной?

10. Какие функции называются основными элементарными функциями?

11. Какая функция называется сложной?

12. Что называется интервалом знакопостоянства функции?

13. Какие функции называются взаимно обратными? Как построить график обратной функции по графику данной функции в системе декартовых координат?

14. Что называется числовой последовательностью?

15. Что называется пределом числовой последовательности?

16. Сформулируйте определение предела функции.

17. Сформулируйте теоремы о пределах функций.

18. Какая функция называется бесконечно малой? бесконечно большой? Какова зависимость между ними?

19. Перечислите свойства бесконечно малых функций.

20. Напишите формулы первого и второго замечательных пределов.

21. Какие логарифмы называются натуральными?

22. Сформулируйте определения односторонних пределов функции в точке.

23. Какая функция называется непрерывной в точке? на интервале?

24. Какая точка называется точкой разрыва первого рода? второго рода?

25. Перечислите свойства непрерывных на отрезке функций.

 

2. 2. 4. Задания для самостоятельной работы

В задачах 1 – 6 вычислить пределы.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .