Модуль 3. Дифференциальное исчисление функции одной

Переменной

Содержание модуля.

Тема 3.1. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Ее геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования функций. Производные основных элементарных функций. Производная сложной и обратной функции. Производные высших порядков.

Тема 3. 2. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Правило Лопиталя.Точки экстремума функции. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши

 

Методические указания по его изучению.

После изучения по учебникам теоретического материала разберите реше-

ние примеров 6, 7.

Для справок приведем правила и формулы дифференцирования основных элементарных функций.

1. . 2. .

3. . С – const. 4. .

5. Если , где , то .

6. 7. .

8. . 9. .

10. . 11. .

12. . 13. .

14. . 15. .

16. . 17. .

18. . 19. .

Если u= х, то u ^′ = 1.

 

Пример 6. Найти производные данных функций:

а) ; б) . в) ;

г) ; д) .

Решение.

а) применяем правило дифференцирования сложной функции и

табличные формулы:

.

 

б) Последовательно применяем правило дифференцирования сложной функции:

 

в) Логарифмируем данную функцию: .

Дифференцируем обе части последнего равенства: .

Отсюда

.

 

г) Данная функция задана в неявной форме. Дифференцируя по х обе части уравнения, имеем

.

Отсюда

; .

д) Прологарифмируем по основанию е обе части данного равенства:

. Дифференцируем обе части последнего равенства по переменной х, считая здесь у функцией от х:

,

 

, откуда

.

 

Пример 7. Найти дифференциал функции .

Решение.. Дифференциалом dy функции в точке х назы-

вается главная, линейная относительно ∆ х часть у ′∆ х приращения ∆ у

функции, то есть .Так как , то

Исходя из определения дифференциала, имеем:

.

 

Вопросы для самоконтроля.

1. Что называется производной функции?

2. Каков геометрический, физический смысл производной?

3. Какая функция называется дифференцируемой в точке? на интервале?

4. Как взаимосвязаны непрерывность и дифференцируемость функции в точке?

5. Напишите правила дифференцирования функций.

6. Напишите формулы дифференцирования основных элементарных функций.

7. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

8. Сформулируйте определение дифференциала функции.

9. Перечислите свойства дифференциала функции.

10. Каков геометрический смысл дифференциала функции?

 

2. 3. 4. Задания для самостоятельной работы

В задачах 1 – 3 найти производные указанных функций.

1. . 2. . 3. .

4.Найти дифференциал функции .

5.Вычислить предел , используя правило Лопиталя.

 

Модуль 4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.

Содержание модуля.

Тема 4. 1. Условия монотонности функций. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке.

Тема 4. 2.Исследование выпуклости графика функции. Точки перегиба. А симптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика. Уравнение касательной к кривой в данной точке.