Свойства определенного интеграла. Теорема Ньютона-Лейбница

Свойство 1. Производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела. То есть

Свойство 2. Определённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов

Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла

Свойство 4. Если на отрезке , где , функции и удовлетворяют условию , то

Свойство 5. Если и - наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке и , то

Свойство 6. Если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования, то определённый интеграл изменит знак

Свойство 7. Для любых трёх чисел справедливо равенство

если только все три интеграла существуют.
Свойство 8 (Теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке найдётся такая точка , что справедливо равенство:

Ньютона-Лейбница теорема выражает связь между определенным и неопределенным интегралами от интегрируемой функции f (x): если F (x) – любая первообразная для функции f (x), то имеет место формула Ньютона-Лейбница
.
Иногда полезно применять эту теорему несколько в иной форме, еще более ярко показывающей связь операций интегрирования и дифференцирования.
Если у = f (x) – непрерывно дифференцируемая функция, то
.

Этот факт (наряду с другими элементами интегрального и дифференциального исчислений) был независимо открыт и И. Ньютоном, и Г. Лейбницем примерно в одно и то же время – в последней четверти XVII века.

Несобственные интегралы 1-го рода. Примеры

В дальнейшем мы будем обычно иметь дело с несобственными интегралами от неотрицательных функций. Если функция неотрицательна на луче , то функция возрастает на этом луче. Поэтому она имеет предел при в том и только в том случае, когда ограничена. Отсюда получаем следующее утверждение:

 

а) Для сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции , необходимо и достаточно, чтобы функция была ограничена, т. е. чтобы нашлось такое число , что для всех .

 

Непосредственно найти такое число бывает довольно сложно, поэтому во многих случаях оказывается полезным следующее утверждение:

 

б) Если на луче выполняется неравенство и интеграл сходится, то сходится и интеграл .

 

В самом деле, из следует, что для любого имеем:

 

 

Но функция возрастает, и потому ее предел при не меньше любого из ее значений: . Поэтому для всех имеем: , где . А тогда на основании предыдущего утверждения интеграл сходится.

 

Из доказанного вытекает, что если при и интеграл расходится, то расходится и интеграл — в противном случае в соответствии с утверждением б) интеграл сходился бы.

 

 

Пример 5. Исследуем на сходимость интеграл .

 

Решение. Мы имеем при . Но интеграл сходится (см. пример 4). Поэтому сходится и исходный интеграл.

 

Пример 6. Исследуем на сходимость интеграл .

 

Решение. Так как при , а интеграл расходится (см. пример 4 при ), то расходится и заданный интеграл.

Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Примеры

Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для неопределенного интеграла. Таким образом, если с заменами у Вас не очень, следует внимательно ознакомиться с уроком Метод замены в неопределенном интеграле.

В этом параграфе нет ничего страшного или сложного. Единственная новизна состоит в вопросе, как поменять пределы интегрирования при замене.

В примерах я постараюсь привести такие типы замен, которые еще нигде не встречались на сайте.

Пример 5

Вычислить определенный интеграл

Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм: . Но есть одна неувязочка, в табличном интеграле под корнем , а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально.

Сначала готовим наш интеграл к замене:

Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена:
Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо: .
Выясняем, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал :

По сравнению с заменой в неопределенном интеграле у нас добавляется дополнительный этап.