Раздел VIII. Неопределенный интеграл

Основные понятия

Ранее мы решали следующую задачу дифференцирования (т.е. вычисления производной): дана функция , по ней мы строили другую функцию, которая называлась производной данной функции и обозначалась или . Построенная функция оказалась очень полезной для исследования характера зависимости переменных и , выраженного исходной функцией. Поставим теперь обратную задачу − по известному выражению для производной функции найти саму функцию. Более точно: дана функция , а необходимо найти такую функцию , производная которой равна . Дадим следующее определение. Функция называется первообразной для функции на интервале если для всех . Далее мы будем опускать упоминание об интервале , если равенство выполнено на всей области определения первообразной. Пусть, например, , тогда несложно угадать, что первообразной будет функция , так как действительно . Аналогично, легко проверить, что для функции первообразной будет функция .

Когда мы по заданной функции вычисляли ее производную, то получали в ответе одну конкретную функцию. То есть для функции ее производная определяется однозначно. Так ли в отношении первообразной? Единственна ли первообразная для данной функции? В первом примере мы убедились, что для функции первообразной является . Есть ли другие первообразные? Другими словами, есть ли другие функции, производная от которых тоже равна ? Возьмем, например, . Легко убедиться (взяв производную), что это тоже первообразная для . Ясно, что число 5 можно заменить любым другим и снова получим первообразную (поскольку производная от любого числа равна 0), а потому первообразных бесконечно много (так как чисел бесконечно много). Понятно и в общем случае, что если для функции мы нашли какую-то первообразную , то первообразной будет и функция , где – любое число. Исчерпаем ли мы все первообразные, прибавляя к какой-нибудь из них все числа? Или может найтись такая первообразная, которая не получается из исходной первообразной прибавлением какого-нибудь числа? Оказывается, таких быть не может. И обосновывает этот факт следующая важная

Теорема. Множество всех первообразных для функции имеет вид , где – какая-либо первообразная, а – любое число (буква называется произвольной постоянной).

Множество всех первообразных (ввиду своей важности) получило специальное название и обозначение. Неопределенным интегралом от функции (на интервале ) называется множество всех ее первообразных (на этом интервале). Неопределенный интеграл от функции обозначается . В этом обозначении: − значок интеграла, называется подынтегральной функцией, − знак дифференциала (пока пусть это просто буква, разделяющая выражение для подынтегральной функции и переменную интегрирования), (за буквой ) − буква, которой обозначен аргумент в подынтегральной функции ( называется переменной интегрирования). По предыдущей теореме можно записать следующее основное равенство:

(1) ,

где – какая-либо первообразная для (то есть ), а – произвольная постоянная. Таким образом, производная от правой части этого равенства (1) должна давать выражение для функции, стоящей под интегралом. В дальнейшем мы много раз будем вычислять (или, как говорят, брать) интегралы от разных функций и после многих преобразований получать ответ в виде . Как узнать, правильный ли получился ответ, что ? Для проверки можно использовать правило, которое мы фактически сформулировали выше, и которое будем называть

Правило (*): Для того, чтобы убедиться, что интеграл выписан правильно, надо взять производную от правой части и должно получиться выражение для функции, стоящей под интегралом.

Какие функции имеют первообразную (а значит, для них существует и неопределенный интеграл)? По крайней мере, таковыми являются все непрерывные функции.

Поскольку в самом начале мы уже в примерах находили первообразные для двух функций, то можем уже выписать два интеграла: , .

Таблица (простая) интегралов

 

Ясно, что можно опять «угадать» интегралы от других основных элементарных функций и составить таблицу интегралов, как в свое время составляли таблицу производных. Назовем ее простой (почему – поймете позже) таблицей интегралов:

1) 2) 3) ,
4) 5) 6)

7) 8) 9) 10)

11) 12) 13)
14)

В этих формулах и – любое (а в формуле 9 – положительное) число.

Таким образом, если необходимо вычислить интеграл от функции, которая есть в этой таблице, то можно просто переписать правую часть соответствующей формулы. В следующих примерах отметим некоторые особенности использования наиболее часто применяющейся табличной формулы 3) при различных типах показателя степени .

Пример 1. Пусть число – целое и положительное (т.е. натуральное).

Пример 2. Пусть число – целое и отрицательное.

.

Пример 3. Пусть число – дробное и положительное (т.е. под интегралом корни и степени).

Пример 4. Пусть число – дробное и отрицательное (т.е. под интегралом корни и степени, да еще и в знаменателе).

.

Если же под знаком интеграла стоят суммы-разности функций из таблицы, умноженных на некоторые числа, то для взятия интеграла используют свойства интегралов, излагаемые в следующем параграфе.