ТОП 10:

Экстремумы функций двух переменных



 

По аналогии с понятием экстремума для функций одного переменного введем следующее определение. Пусть точка входит в область определения функции с некоторой ее окрестностью (т.е. со всеми точками некоторого круга с центром в этой точке). Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если значение функции в этой точке больше или равно (меньше или равно) значений функции во всех ближайших к точках, т.е. ( ) для всех точек из какой-либо окрестности точки . Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума этой функции. В практических задачах принятие оптимального решения сводится обычно к поиску экстремумов некоторой функции. Как же ищутся точки экстремуму для функции двух переменных? Если вспомнить, то точки экстремума функции одного переменного находились среди ее критических точек (т.е. точек, в которых производная не существовала или обращалась в 0). По аналогии, назовем критическими точками функции двух переменных такие точки (на координатной плоскости ), в которых либо не существует хотя бы одна из ее частных производных, либо обе они, существуя, обращаются в 0. Точки, в которых обе частные производные существуют и одновременно обращаются в 0, называются стационарными точками функции. Таким образом, критические точки функции состоят из ее стационарных точек и точек, в которых не существует хотя бы одна из ее частных производных. Важную роль таких точек обеспечивает

Теорема 1(необходимое условие экстремума). Пусть в точке функция имеет экстремум и в ней существуют обе частные производные. Тогда они необходимо обращаются в 0: , .

Эта теорема позволяет сделать тот же вывод, что был сделан для функции одного переменного: все экстремумы функции находятся только среди ее критических точек. Однако точно так же, как и в случае функции одного переменного, не всякая критическая точка функции двух переменных обязательно является точкой ее экстремума. Например, для функции начало координат является критической точкой, так как в ней обращаются в 0 обе частные производные: , . Однако эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума, поскольку значение функции в начале координат, очевидно, равно 0, а в любой сколь угодно малой окрестности начала координат (т.е. в любом круге с центром в начале координат) есть точки, в которых функция принимает как отрицательные (в точках II и IV четверти), так и положительные (I и III четверть) значения (т.е. как меньшие значения, чем в точке , так и большие ).

Поэтому снова (как и в случае функций одного переменного) необходим алгоритм, позволяющий определить, является ли данная критическая точка точкой экстремума или нет. А если является, то максимумом или минимумом? Такой алгоритм дает

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть – стационарная точка функции , в некоторой окрестности которой существуют и непрерывны все частные производные второго порядка. Пусть , , , а .

Тогда
а) Если , то в точке экстремум есть ( при минимум, при максимум).

б) Если , то в точке экстремума нет.

Приведенные выше рассуждения позволяют предложить следующую схему нахождения экстремумов функции двух переменных :

· Находим выражения для частных производных и .

· Находим критические точки функции; это либо стационарные точки, в которых обе частные производные обращаются в 0 (координаты таких точек есть решения системы ), либо точки, в которых не существует хотя бы одна из найденных частных производных (в этих точках не определено хотя бы одно из выражений для найденных частных производных и ).

· Находим выражения для вторых производных , и .

Дальнейшие пункты схемы делаются отдельно для каждой из найденных стационарных точек, входящих в состав найденных критических точек. Пусть исследуется стационарная точка .

· Подставляя координаты и исследуемой точки в выражения для вторых производных, находим числа , , .

· Находим значение .

· Делаем вывод о характере исследуемой точки в соответствии с заключением приведенной теоремы: если , то в точке экстремум есть ( при минимум, при максимум), а если , то в точке экстремума нет.

· Если оказалась точкой экстремума, то находим соответствующее экстремальное значение функции , подставляя в выражение для функции координаты и этой точки.

Большим недостатком теоремы является то, что она не отвечает на вопрос о характере стационарной точки в случае, когда . В этом случае характер этой точки выявляется дополнительным исследованием. Такое исследование требуется и в том случае, когда исследуется критическая точка, не являющаяся стационарной (т.е. к ней не применима теорема 2). Приведем иллюстрирующий эту ситуацию

Пример 1 . Найти точки экстремума функции .

Решение. В соответствии с приведенной схемой находим выражения для частных производных: , аналогично . Оба получившихся выражения для производных и можно, очевидно, вычислить при любых значениях и , а потому частные производные существуют для всех точек координатной плоскости . Тогда критическими могут быть только стационарные точки, т.е. точки, в которых обе производные обращаются в 0. Для нахождения координат таких точек решаем систему , т.е. . Решением такой системы является, очевидно, единственная пара чисел: , . Поэтому единственной критической точкой является начало координат . В соответствии с дальнейшими пунктами схемы находим вторые производные: , и . Подставляя координаты и критической точки в выражения для вторых производных, получим: , . Отметим, что выражение для (а мы получили, что ) не содержит и , а просто равно числу 0. Это говорит о том, что эта производная является постоянной, т.е. принимает одно и то же значение (равное 0) в любой точке. Поэтому такое же значения она принимает и в критической точке , а потому . Тогда число . Таким образом, в данном примере как раз возник тот случай, в котором приведенная схема не отвечает на вопрос о наличии или отсутствии экстремума в критической точке , а потому для ответа на этот вопрос требуются (как сказано выше) дополнительные исследования. Проведем их. Значение исследуемой функции в точке равно . С другой стороны, значение этой функции в любой другой точке строго больше 0: , если хотя бы одно из чисел или отлично от 0 (это следует из того, что четвертая степень любого отличного от 0 числа строго положительна). Таким образом, значение функции в точке меньше значения функции в любой другой точке. Тогда по определению точка является точкой минимума данной функции, а соответствующее минимальное значение .

Следующий пример также демонстрирует бессилие приведенной схемы в случае, если , однако, дополнительные исследования приводят уже к другому выводу.

Пример 2. Найти точки экстремума функции .

Решение. Функция очень похожа на функцию в предыдущем примере, поэтому все выкладки можно делать короче. Имеем , . Для нахождения координат критических точек решаем систему , т.е. . Решением такой системы снова является единственная пара чисел: , . Поэтому опять единственной критической точкой является начало координат . Далее, , , . Тогда , , , а потому опять . Снова возник тот случай, в котором приведенная схема не отвечает на вопрос о наличии или отсутствии экстремума в критической точке , а потому для ответа на этот вопрос опять требуются дополнительные исследования. Проведем их. Значение исследуемой функции в точке равно . С другой стороны, какую бы маленькую окрестность точки (т.е. кружок с центром в начале координат) мы ни взяли, в ней всегда найдутся точки из I и III четверти. Но в точках первой четверти (обе координаты таких точек положительны) значение исследуемой функции строго больше 0 (сумма кубов двух положительных чисел положительна), а в точках третей четверти (обе координаты таких точек отрицательны) значение этой функции строго меньше 0 (сумма кубов двух отрицательных чисел отрицательна). Таким образом, в любой окрестности точки всегда есть точки, значения в которых как больше значения функции в этой точке, так и меньше. Поэтому по определению точка не может быть точкой экстремума. А так как на подозрении в наличии экстремума у нас была только эта точка (напомним – все экстремумы только среди критических точек!), то можно сделать вывод, что у данной функции вообще экстремумов нет.

Далее рассмотрим примеры, где указанная схема работает до конца.

Пример 3 . Найти точки экстремума функции .

Решение. В соответствии с приведенной схемой находим выражения для частных производных: , аналогично . Оба получившихся выражения для производных определены при любых значениях и , а потому частные производные существуют для всех точек координатной плоскости . Поэтому критическими могут быть только стационарные точки, т.е. точки, в которых обе производные обращаются в 0. Для нахождения координат таких точек решаем систему , т.е. . Выражаем из первого уравнения и подставляем во второе: , откуда получаем . Поэтому . Итак, единственным решением системы является пара чисел: , , а потому единственной критической точкой является точка . В соответствии с дальнейшими пунктами схемы, находим вторые производные: , . Выражения для вторых производных не содержат и , а просто равны некоторым числам. Поэтому каждая вторая производная является постоянной, т.е. принимает одно и то же значение в любой точке. Поэтому такие же значения они принимают и в исследуемой критической точке : , . Тогда число . Поскольку число , то (в соответствии с описанной схемой) исследуемая критическая точка действительно является точкой экстремума. Поскольку выше получилось , то это точка минимума. Минимальное значение функции – ее значение в этой точке, поэтому . Итак, функция имеет одну точку минимума , причем .

Пример 4 . Найти точки экстремума функции .

Решение. Находим частные производные: , . Обе производные определены при любых значениях и , а потому критическими могут быть только стационарные точки. Для нахождения координат таких точек решаем систему , т.е. . Получившаяся система решается очень просто (в отличии от системы в предыдущем примере, которая решалась просто «просто»), поскольку в первом уравнении есть только иксы, а во втором только игреки, а потому из каждого уравнения можно сразу найти соответствующее неизвестное: , . Итак, единственной критической точкой является точка . В соответствии с дальнейшими пунктами схемы, далее находим вторые производные: , , а потому , . Тогда число , поэтому критическая точка является точкой экстремума. Поскольку выше получилось , то это точка максимума. Максимальное значение функции – ее значение в этой точке, поэтому . Итак, исследуемая функция имеет одну точку максимума , причем .

Пример 5 . Найти точки экстремума функции .

Решение. Частные производные первого порядка: , аналогично . Критическими снова могут быть только стационарные точки. Для нахождения координат таких точек решаем систему , т.е. . Деля обе части первого уравнения на 2, второго – на 4 и перенося числа в правую часть, получим следующую систему для определения координат стационарных точек: . Оказывается, что эта система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Это можно доказать с помощью теоремы Кронекера- Капели (эта теорема была в разделе «Основы линейной алгебры»), убедившись, что ранги основной и расширенной матриц системы не совпадают. Если эти методы уже забылись, то можно действовать и «школьными» приемами. Для этого выразим из первого уравнения и подставим во второе: , , . Последнее уравнение, очевидно, решений не имеет, так как не существует такого числа, которое, будучи умноженным на 0, даст . Поэтому и вся система решений не имеет. Что же это означает? Решения этой системы давали нам координаты критических точек. Отсутствие решений системы говорит об отсутствии критических точек у исследуемой функции. Но поскольку все экстремумы функции находятся только среди ее критических точек, то у данной функции экстремумов нет.

Пример 6 . Найти точки экстремума функции .

Решение. Находим частные производные: , . Ищем координаты критических точек: , т.е. . Ясно, что система имеет единственное решение , . Поэтому единственной критической точкой является начало координат . Далее, , , . Тогда , , , а потому . Итак, , потому по приведенной выше теореме экстремумов в точке нет. Но эта точка была единственной точкой, в которой мог быть экстремум (все экстремумы – только среди критических точек функции!) . Поэтому у данной функции экстремумов нет.

Пример 7 . Найти точки экстремума функции .

Решение. Выражения для частных производных: , . Оба получившихся выражения для производных определены при любых значениях и , а потому частные производные существуют для всех точек координатной плоскости . Поэтому критическими могут быть только стационарные точки, для нахождения координат которых решаем систему , т.е. . Сокращая уравнения на 3, получим . Выражаем из первого уравнения и подставляем во второе: , , . Произведение может обратиться в 0 только при тех значениях , которые обращают в 0 хотя бы один из сомножителей. Поэтому либо , либо , т.е. . Таким образом, уравнение имеет два корня: и . Учитывая полученную ранее связь , получим соответствующие значения : , . Потому система имеет 2 решения: , и , , а исследуемая функция имеет, соответственно, две критические точки: и . В соответствии с дальнейшими пунктами схемы, находим выражения для вторых производных: , .

Далее, в соответствии с приведенной схемой исследуем обе критические точки и по отдельности.

1. Исследуем критическую точку . Вычисляем в этой точке значения вторых производных: , . Тогда число . Поскольку число , то (в соответствии с описанной схемой) исследуемая критическая точка не является точкой экстремума.

2. Исследуем критическую точку . Вычисляем в этой точке значения вторых производных: , . Тогда число . Поскольку число , то (в соответствии с описанной схемой) исследуемая критическая точка является точкой экстремума. Поскольку , то − точка минимума. Значение функции в точке минимума: .

Итак, функция имеет единственную точку минимума , причем .

Пример 8 . Найти точки экстремума функции .

Решение. Выражения для частных производных: ={производная произведения: }= , аналогично {первый множитель не содержит , а потому при вычислении производной по этой переменной считается постоянным множителем и выносится за знак производной}= . Оба получившихся выражения для производных определены при любых значениях и , а потому частные производные существуют для всех точек координатной плоскости . Поэтому критическими могут быть только стационарные точки, для нахождения координат которых решаем систему , т.е. . Поскольку не обращается в 0 ни при каких значениях показателя степени , то, разделив обе части первого уравнения на , а второго на , получим систему, равносильную исходной: . Подставляя в первое уравнение, получим . Итак, единственным решением системы является пара чисел: , , а потому единственной критической точкой является точка . Далее, находим вторые производные: , , . Вычисляем значения вторых производных в исследуемой критической точке : , . Тогда число . Поэтому исследуемая критическая точка действительно является точкой экстремума. Поскольку , то это точка минимума. Минимальное значение функции . Итак, функция имеет одну точку минимума , причем .

Пример 9. Необходимо построить открытый бассейн в форме прямого параллелепипеда объемом , на облицовку дна и стен которого пойдет наименьшее количество материала.







Последнее изменение этой страницы: 2016-12-15; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.227.3.146 (0.012 с.)