Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

Рассмотрим интегрирование некоторых типов выражений, в которых аргумент входит только под знаком тригонометрических функций. Прежде всего рассмотрим интегралы вида и . В интеграле под понимается любая формула, в которую аргумент входит только в комбинацию (где − некоторое число), причем вся эта формула обязательно под интегралом должна умножаться на . Аналогично, в интеграле под понимается любая формула, в которую аргумент входит только в комбинацию , но вся эта формула под интегралом умножается на . Для интегралов вида рекомендуется замена переменной . Найдем дифференциал новой переменной: , откуда . Отсюда следует, что при переходе в интеграле к новой переменной (со связью переменных ) следует в формуле везде заменить на , а оставшееся выражение заменить на . Аналогично, легко показать, что при переходе в интеграле к новой переменной (со связью ) следует в формуле везде заменить на , а оставшееся выражение заменить на . Оформляется это следующей записью:

(1) .

(2) .

Приведем примеры на вычисления интегралов указанных типов.

Пример 1. Вычислить .

Решение. Это интеграл типа (1) (при ), поскольку входит только в комбинацию и есть множитель перед . Тогда по формуле (1): { возвращаемся к старой переменной , учитывая, что } = Окончательно:

Пример 2. Вычислить .

Решение. Это интеграл типа (2) (при ), поскольку входит только в комбинацию и есть множитель перед . По формуле (2):

{для удобства вносим знак «−» в скобки подынтегрального выражения, меняя знаки в них}= =
{возвращаемся к старой переменной } . Итак, .

Пример 3. Вычислить .

Решение. Это интеграл типа (1) при , поскольку входит только в комбинацию и есть множитель перед . По формуле (1): . Окончательно:

.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Формально подынтегральное выражение не позволяет данный интеграл отнести к типу (1) или (2). Вот если бы степень синуса или степень косинуса была бы равной 1, то интеграл бы оказался одного из этих типов. Для того, чтобы привести интеграл к нужному типу, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством , которое позволяет выразить квадрат одной из тригонометрических функций через другую. Подынтегральная функция:

. Поэтому . Теперь видно, что это интеграл вида (1), причем , а перед стоит . Тогда по формуле (1): . Таким образом, .

Рассмотрим теперь интегралы от произведений тригонометрических функций вида . Для избавления от произведения под интегралом и превращения его в сумму-разность используются следующие формулы тригонометрии:

, , .

Пример 5. Вычислить .

Решение. Используем последнюю формулу произведения синуса и косинуса: =
={пользуемся нечетностью синуса: } = . Окончательно получаем: .

Рассмотрим теперь вычисление интегралов от четных степеней тригонометрических функций. Для их вычисления используют следующие тригонометрические формулы понижения степени: и .

Пример 6. Вычислить .

Решение. Используем формулу понижения степени :

. Итак, .

Пример 7. Вычислить .

Решение. Используем формулу понижения степени , представив четвертую степень как «квадрат в квадрате»: {раскрываем квадрат суммы}
{к последнему интегралу снова применяем формулу понижения степени}=

. Окончательно: .