Тема 11. Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Цель: рассмотреть понятие стационарной точки, основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши), правило Лопиталя.

Задачи:

- добиться понимания студентами геометрического смысла рассматриваемых теорем;

- научить применять основные теоремы дифференциального исчисления к исследованию функций;

- научить применять правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.

Содержание: Стационарные точки. Теоремы Ферма и Ролля. Теорема Лагранжа и формула конечных приращений. Теорема Коши. Правило Лопиталя.

Тема 12. Приложения дифференциального исчисления

Цель: рассмотреть в деталях вопросы применения производной к исследованию функций и построению графиков.

Задачи:

- научить студентов применять производную к исследованию конкретных функций и построению их графиков;

- научить студентов применять производную к экономическим исследованиям.

Содержание: Условие постоянства функций. Условия монотонности функций. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции. Наибольшее и наименьшее значение функции. Достаточные условия экстремума. Условия выпуклости и вогнутости. Точки перегиба. Асимптоты. Построение графиков функций. Предельные показатели в экономике. Эластичность экономических показателей. Максимизация прибыли.

II семестр

Тема 13. Функции нескольких переменных

Цель: рассмотреть понятия функции нескольких переменных, предела функции нескольких переменных, непрерывности функции нескольких переменных, частных производных, частного и полного дифференциалов, дифференцируемости функции нескольких переменных, градиента и производной по направлению функции нескольких переменных, экстремума (локального и глобального) функции нескольких переменных и алгоритмов его отыскания, эмпирической формулы и суть метода наименьших квадратов, рассмотреть основные приложения рассмотренных понятий в экономике и геометрии.

Задачи:

- добиться усвоения студентами основных понятий темы функции нескольких переменных;

- добиться усвоения понятий частных производных, частного и полного дифференциалов, дифференцируемости функции нескольких переменных, градиента, и производной по направлению функции нескольких переменных, экстремума функции нескольких переменных;

- научить студентов находить экстремумы (локальные и глобальные) функции нескольких переменных, определять вид и параметры эмпирической формулы методом наименьших квадратов;

- научить студентов применять полученные знания для решения задач экономического характера.

Содержание: Функции нескольких переменных. Множества уровней. Однородные функции. Выпуклые и вогнутые функции. Производственные функции. Линии изоквант и изокост. Предел функции в точке. Непрерывность. Свойства непрерывных функций. Частные производные. Примеры применения частных производных в экономике. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Градиент функции и его свойства. Производная функции по направлению. Неявные функции. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Задачи на условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции. Выравнивание эмпирических зависимостей. Метод наименьших квадратов.

Тема 14. Первообразная и неопределенный интеграл

Цель: дать понятия и основные свойства неопределенного интеграла, рассмотреть основные методы интегрирования функции одной переменной.

Задачи:

- добиться усвоения понятия неопределенного интеграла;

- научить студентов применять свойства и основные методы интегрирования.

Содержание: Первообразная функции и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Метод замены переменной. Формула интегрирования по частям. Таблица неопределенных интегралов. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

 

Тема 15. Определенный интеграл

Цель: дать понятия и основные свойства определенного и несобственного интегралов, рассмотреть способы вычисления определенного и несобственного интегралов, приложения определенного интеграла в геометрии и экономике.

Задачи:

- добиться усвоения понятий определенного и несобственного интегралов;

- научить студентов применять формулу Ньютона-Лейбница, формулу трапеций при вычислении определенных интегралов; вычислять несобственные интегралы 1 рода;

- отработать умение применять результаты интегрального исчисления в прикладных задачах.

Содержание: Определенный интеграл. Условия интегрируемости функций. Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Применение определенного интеграла в экономике. Применение определенного интеграла для вычисления площадей фигур, длин дуг плоских кривых и объемов тел. Приближенные методы вычисления определенных интегралов. Несобственные интегралы.

 

Тема 16. Кратные интегралы

Цель: дать понятие и основные свойства кратного интеграла, рассмотреть способы вычисления кратных интегралов, приложения кратного интеграла.

Задачи:

- добиться усвоения понятия кратного интеграла;

- отработать умение применять результаты интегрального исчисления в прикладных задачах.

Содержание: Определение двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Тройной интеграл. Приложения кратных интегралов.

Тема 17. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Цель: дать понятия дифференциального уравнения и его решений, видов, задачи Коши, рассмотреть методы решения дифференциальных уравнений первого порядка, дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, дать понятия о системах линейных дифференциальных уравнений.

Задачи:

- добиться усвоения понятий дифференциального уравнения, его порядка, решений, видов, задачи Коши;

- отработать навык решения дифференциальных уравнений первого порядка, второго порядка с постоянными коэффициентами, систем линейных дифференциальных уравнений.

Содержание: Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. Составление дифференциального уравнения первого порядка. Модели экономической динамики. Дифференциальные уравнения первого порядка. Методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной. Системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Тема 18. Ряды

Цель: дать понятия числового и функционального рядов, их видов; рассмотреть необходимый и достаточные признаки сходимости числовых рядов; дать понятие радиуса и области сходимости степенного ряда, ввести понятие ряда Тейлора и его приложения в приближенных вычислениях.

Задачи:

- добиться усвоения понятий числового и функционального рядов;

- отработать навык исследования числового ряда на сходимость;

- отработать навык нахождения области сходимости функционального, в частности, степенного ряда;

- отработать навык разложения функций в степенные ряды, а также научить применять степенные ряды в приближенных вычислениях.

Содержание: Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Простейшие свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости числового ряда. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Функциональные ряды. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область и интервал сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Применение рядов к приближенным вычислениям.

Тема 19. Ряды Фурье

Цель: дать понятие ряда Фурье.

Задачи:

- добиться усвоения понятия ряда Фурье;

- отработать навык разложения функций в ряды Фурье.

Содержание: Ряды Фурье. Разложение функций в ряды Фурье.

III семестр