Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Экстремумы функции 2ух переменных.

Поиск

Рассмотрим функцию 2х переменных z=f(x,y) в области Д, пусть р0(x0,y0) - внутренняя точка этой области.

Опр. Точка р0 наз. Точкой max функции, если в некоторой окресности этой точки выполняется неравенство:

f(x,y)< f(x0,y0)

min - наоборот

Теорема: Необходимое условие существования экстремума функции в точке р0.

Если ф-я z=f(x,y) диф-ма в точке р0 и имеет в этой точке экстремум, то часные производные функции в этой точке равны нулю.

x(x0,y0)=0

y(x0,y0)=0

Пусть в точке р0 функция достигает max. Рассмотрим часную производную этой функции по у.

y(x,y)=j¢(у)

При нахождении этой частной производной мы имеем дело с функцией, зависящей только от х, при этом эта функция в точке р0 достигает max, поэтому по теореме о существовании экстремума функции одной переменной имеем:

j¢(y0)=0 ® f¢y(x0,y0)=0, аналогично по х.

Опр. Т

 

очка р0 при этом наз. стационарной точкой (в которой часные производные равны нулю).

Из этого следует, что экстремум функция 2х переменных может достигать только в стационарных точках (если она диф-ма), но не во всякой стационарной точке функция достигает экстремума, т.к это только необходимое условие, но недостаточное условие.

Теорема: Достаточное условие существования экстремума ф-ции 2х переменных.

Пусть ф-я z=f(x,y) диф-ма в точке р0 и эта точка явл. стационарной точкой, найдем часные производные 2ого порядка этой функции

r=¶2z/¶x2 s=¶2z/¶x¶y t=¶2z/¶y2

Вычислим в точке р0 значение выражения (rt-s2)po, если это выражение >0, то в т. р0 сущ. экстремум.

При этом если r>0 р0 -min; r<0 р0 -max

Если rt-s2<0 - экстремума нет.

rt-s2=0 - экстремум возможен, требуются дополнительные исследования.

 

Определение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области.

Пусть задана ф-я z=f(x,y) в замкнутой области Д.

F(x,y)=0 - уравнение границы Д.

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения ф-ции в этой области.

Эти значения функция может достигать либо в экстремальных точках внутри области, либо на границе области, поэтому решение задачи делится на 2 этапа:

1.Сначала находим стационарные точки внутри области. В этих тосках возможны экстремумы. Вычисляем зачение заданной функции в этой точке.

2.Определяем наиб. и наим. Значение функции на границе области.

3.Сравниваем полученное значение и выбираем наиб. и наим. знач.

 

Нахождение наибольшего и наименьшего значения на границе области Д.

Пусть граница области имеет уравнение F(x,y)=0 è y=y(x) - на гр. обл. Д

z=f(x,y) = f[x,y(x)]=z(x) - является сложной функцией.

Необходимо найти min и max z(x) на границе. Для этого надо найти экстремумы внутри области (достаточно найти точки, где возможны экстремумы и вычислить значение функции в этих точках).

 

Леция №4

Определение интеграла по фигуре.

Пусть дана фигура G, р - текущая точка на фигуре.

f(p) - заданная на фигуре G

Выполним след. операции:

1.Разобьем G на куски: DG1, DG2,…, DGn, - меры кусков.

2.Внутри каждого куска выберем по 1 точке р1, р2, р3…

3.Вычисляем значение функции в выбранных точках

4.Составляем сумму произведений

f(p1)* DG1+ f(p2)* DG2+… +f(pn)* DGn=(n/i=1)åf(pi)*DGi -

эта сумма называется интегральной суммой функции f(p) по фигуре G при разбиениии n

Опр. Интегралом по фигуре G функции f(p) называется предел интегральных сумм этой функции, когда n®0

òGf(p)dG=Lim(n®¥)*(n/i=1)åf(Pi)*DGi

Если этот предел существует и независит от способов разбиения при условии, что диаметры кусков при этом стремятся к нулю.

Диаметром куска называется его максимальный линейный размер.

Max dim DG ®0

 

Cвойства интеграла по фигуре.

1.Итеграл по фигуре от единичной функции равен мере фигуры.

òGdG=G - мера фигуры

Док-во: по определению

òGdG=Lim(n®¥)*(n/i=1)å1*DG=G - как сумма мер всех кусков.

 

 

¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥òòòòòòòòåååååå

 

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-12-28; просмотров: 81; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.129.253.21 (0.005 с.)