Определение функции нескольких переменных.

Определение функции нескольких переменных.

Переменная u называется f(x,y,z,..,t), если для любой совокупности значений (x,y,z,..,t) ставится в соответствие вполне определенное значение переменной u.

Множество совокупностей значение переменной называют областью определения ф-ции.

G - совокупность (x,y,z,..,t) - область определения.

 

Функции 2-х переменных.

Переменная z называется функцией 2х переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) Î G ставится в соответствие определенное значение переменной z.

 

Предел функции 2-х переменных.

Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р₀(х₀,у₀)- рассматриваемая точка.

Опр. Окрестностью точки р₀ называется круг с центром в точке р₀ и радиусом r. r = Ö(х-х₀)²+(у-у₀)^2Ø

Число А называется пределом функции |в точке р₀, если для любого

Lim f(x,y)

pàp₀

сколь угодно малого числа e можно указать такое число r (e)>0, что при всех значениях х и у, для которых расстояние от т. р до р0 меньше r выполняется неравенство: ½f(x,y) - А½<e, т.е. для всех точек р, попадающих в окрестность точки р₀, с радиусом r, значение функции отличается от А меньше чем на e по абсолютной величине. А это значит, что когда точка р приблизится к точке р₀ по любому пути, значение функции неограниченно приближается к числу А.

 

Непрерывность функции.

Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р₀(х₀,у₀)- рассматриваемая точка.

Опр. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в т. р₀, если выполняются 3 условия:

1)функция определена в этой точке. f(р₀) = f(x,y);

2)ф-я имеет предел в этой точке.

Lim f(р) = b

pàp₀

3)Предел равен значению функции в этой точке: b = f(x₀,y₀);

Lim f(x,y) = f(x₀,y₀);

pàp₀

Если хотя бы 1 из условий непрерывности нарушается, то точка р называется точкой разрыва. Для функций 2х переменных могут существовать отдельные точки разрыва и целые линии разрыва.

Понятие предела и непрерывности для функций большего числа переменных определяется аналогично.

Функцию трех переменных невозможно изобразить графически, в отличие от функции 2х переменных.

Для функции 3х переменных могут существовать точки разрыва, линии и поверхности разрыва.

 

Частное производной.

Рассморим функцию z=f(x,y), р(х,у)- рассматриваемая точка.

Дадим аргументу х приращение Dх; х+Dх, получим точку р₁(х+Dх,у), вычислим разность значений функции в точке р:

D_хz = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х.

Опр. Частное производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю.

¶z = Lim D_xz

¶x Dx®0 Dx

à ¶z = Lim f(x+Dx,y) - f(x,y)

¶x Dx®0 Dx

Аналогично определяем частное производной по переменной у.

 

Нахождение частных производных.

При определении частных производных каждый раз изменяется только одна переменная, остальные переменные рассматриваются как постоянные. В результате каждый раз мы рассматриваем функцию только одной переменной и частная производной совпадает с обычной производной этой функции одной переменной. Отсюда правило нахождения частных производных: частноя производная по рассматриваемой переменной ищется как обычная производнаяфункции одной этой переменной, остальные переменные расстатриваются как постоянные величины. При этом оказываются справедливыми все формулы дифференцирования функции одной переменной (производноя суммы, произведения, частного).

 

(Лекция № 2)

Полный дифференциал для функций нескольких переменных.

Для функций многих переменный полный дифференциал определяется аналогично, при этом:

u=f(x,y,z,…,t)

du=¶u/¶x·dx+¶u/¶y·dy+¶u/¶z·dz+…+¶u/¶t·dt

 

Определение функции нескольких переменных.

Переменная u называется f(x,y,z,..,t), если для любой совокупности значений (x,y,z,..,t) ставится в соответствие вполне определенное значение переменной u.

Множество совокупностей значение переменной называют областью определения ф-ции.

G - совокупность (x,y,z,..,t) - область определения.

 

Функции 2-х переменных.

Переменная z называется функцией 2х переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) Î G ставится в соответствие определенное значение переменной z.