Раздел IV. Интегральное исчисление

Раздел IV. Интегральное исчисление

Глава 10. Неопределенный интеграл

10.1. Первообразная и неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование….2

10.2. Метод подстановки. Интегрирование по частям………………………………………3

10.3. Интегрирование рациональных функций. Разложение на простейшие дроби……...4

10.4. Интегрирование простейших дробей…………………………………………………..5.

10.5. Интегрирование тригонометрических функций………………………………………6

10.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций………………………………7

Глава 11. Определенный интеграл

11.1.Понятие определенного интеграла и его свойства………………………………....8

11.2. Приближенное вычисление определенного интеграла. …………………………9

11.3. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле....10

11.4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. ………………………..11

11.5. Несобственные интегралы от функций, имеющих разрыв. …………………….

11.6. Вычисление площади плоской фигуры. ………………………………………….

11.7. Длина дуги кривой. …………………………………………………………………

11.8. Вычисление объема и площади поверхности вращения…………………………

Раздел V. Функции нескольких переменных

Глава 12. Функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных.

Непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные.

Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Производная сложной функции.

Дифференцирование функций заданных неявно.

Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Экстремум функции нескольких переменных.

 

12.8. Производная по направлению. Градиент.

Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в замкнутой области.

Условный экстремум функции нескольких переменных.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

12.12. Метод наименьших квадратов.

Раздел IV. Интегральное исчисление

Глава 10. Неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование

Основная задача дифференциального исчисления – отыскание производной заданной функции. Однако имеется обратная задача: по данной найти F (x), производная которой равна , F’(x) = .

Лемма: Функция, производная которой на некотором промежутке равна нулю, является константой.

по т. Лагранжа , .

Теорема. Если F (x) – первообразная для функции на некотором промежутке X, то любая другая первообразная имеет вид F (x) +C.

Доказательство. Пусть Ф (х) – другая первообразная, тогда Ф (x) = .

Для любого x: , то есть .

Определение. Если функция F (x) – первообразная для , то множество функций F (x) +C называется неопределенным интегралом от и обозначается: , где – подынтегральная функция, dx – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.

Восстановление функции по ее производной или отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием.

Свойства неопределённого интеграла:

Табличные интегралы:

Непосредственное интегрирование

Вычисление интеграла путем использования таблиц и основных свойств называется непосредственным интегрированием.

Примеры.

Метод подстановки. Интегрирование по частям

Если известно, что .

Это вытекает из правила дифференцирования сложной функции.

Примеры:

 

 

Интегрирование по частям

Нет формулы, выражающий интеграл от произведения функций через интеграл от сомножителей. Интеграл от элементарной функции не всегда является элементарной функцией.

Пусть имеются дифференцируемые функции u (х)и v (х): или, интегрируя, получим: – формула интегрирования по частям.

При использовании формулы интегрирования по частям необходимо выбрать функцию u, тогда оставшаяся часть будет дифференциалом функции v, т.е. dv. Можно указать следующие случаи:

1. .

В этом случае последовательное дифференцирование уменьшает показатель n до нуля. Наиболее простой случай, когда n = 1.

2.

В этом случае дифференцирование указанных функций обычно упрощает нахождение интеграла.

Примеры:

 

1)

 

 

Раздел II. Определенный интеграл

Геометрические приложения определенного интеграла

 

Длина дуги кривой

 

а) Пусть кривая задана уравнением y = f (x). Возьмем на точки A, M ₁, M ₂ ,…M_i,…B, и проведем хорды, которые обозначим l ₁, l ₂ ,… l_n. Получим ломанную , вписанную в дугу АВ. Длина ломаной: . Длина дуги – предел: Если на отрезке [ a, b ] f (x), непрерывны, то этот предел существует. Пусть y_i = f(x_i) – f(x_{i– 1} ), тогда . По теореме Лагранжа , , по условию, f(x) и – непрерывны, поэтому существует предел интегральной суммы, который равен определенному интегралу:

L = = .

Пример. Найти длину дуги кривой y = x^3/2, .

L =

б) Если кривая задана параметрически: то длина дуги

L=

в) Пусть кривая задана в полярных координатах: тогда

тогда L = .

Пример. Найти длину дуги кардиоиды:

длина дуги:

 

Производная сложной функции

Если z = f (u, v), а u и v являются функциями независимой переменной x: то и z является функцией x. Говорят, что z есть сложная функция аргумента x. Производная . (Аналогично для нескольких переменных).

Если z = f (x, u, v), то z – функция x и .

Пример:

Пример:

Движение точки задано уравнениями: . С какой скоростью возрастает ее расстояние от начала координат?

Ищем , . Тогда получаем, что

Пусть z = f (u, v) и . Пусть все функции имеют частные производные. Вычислим и . Дадим х приращение х, тогда разделим на х и перейдем к пределу: и .

Пример.

 

Области

Функция, ограниченная и дифференцируемая в замкнутой области, достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения или во внутренних точек этой области (критических) или на её границе. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D, надо найти все внутренние критические точки ( найти значения функции в этих точках, найти наибольшее и наименьшее значение функции на каждой линии, ограничивающей область D. Сравнить все полученные значения: наибольшее – max, наименьшее – min.

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение функции в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой x+у+ 5=0.

x = –2, у = –1. (–2;–1)= –3.

на оси ox: y=0, тогда z=x² +3 x +1.

(

г)

Значения функции в вершинах треугольника:

z_наиб=z (0,–5)=41; z_наимен = z (–2;–1)= –3.

Метод наименьших квадратов

Пусть известные значения некоторой функции f (x) образуют таблицу:

х	x 1	x 2	…	xn
f (x)	y 1	y 2	…	yn

Требуется найти аналитическое выражение для этой функции.

Можно применить метод интерполяции, однако совпадение значений в узлах может вовсе не означать совпадения характеров поведения исходной и интерполирующей функции.

Поставим задачу следующим образом: найти функцию заданного вида y = F (x), которая в точках x ₁, x ₂, …, x_n принимает значения как можно более близкие к табличным значениям y ₁, y ₂, …, y_n. Следует заметить, что строгая функциональная зависимость для экспериментально полученной таблицы наблюдается редко, однако искомая формула (уравнение регрессии y на х) позволяет находить значения функции для не табличных значений х.

Предположим, что приближающая функция F (x) в точках x ₁, x ₂, …, x_n имеет значения . Тогда поставленная задача может быть сформулирована следующим образом: найти функцию заданного вида F (x) так, чтобы расстояние между точками М (y ₁, y ₂, …, y_n) и было наименьшим, т.е. величина была бы наименьшей, или сумма квадратов должна принимать наименьшее значение.

В качестве приближающих функций в зависимости от вида функции f (х) часто используют функции: а) y = ax+b, б) y= ax² + +bx + c, в) y = ax^m, г) y = ae^mx, д) y = 1 / (ax) + b, e) y = a ln x + b, ж) y = a/x + b, з) y = x / (ax + b), где a, b, c, m – параметры, которые необходимо определить.

Пусть необходимо определить три параметра, например, a, b, c, тогда искомая функциябудет является функцией этих параметров: F (x_i, a, b, c). В обозначениях, принятых выше, F (x_i, a, b, c) = = , i = 1,2,…, n.

Обозначим сумму квадратов разностей соответствующих значений функций f (x) и F (x) как U (a, b, c). Тогда получаем: . Запишем необходимые условия экстремума: . Найдя частные производные, получаем систему:

(1)

Решая эту систему трех уравнений с тремя неизвестными, определим значения параметров a, b, c и конкретный вид искомой функции F (x, a, b, c). Изменение количества параметров не приведёт к искажению сущности метода, а выразится лишь в изменении количества уравнений в системе.

Рассмотрим подробнее линейную регрессию, т.е. будем искать приближающую функцию в виде: F (x, a, b) = ax + b. Частные производные по параметрам . Составим систему уравнений (1):

Поскольку необходимо найти два параметра, то получили систему двух уравнений с двумя неизвестными. Преобразуем эту систему:

или .

Это система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (a, b). Решив ее, определяем параметры a и b:

Величины x_i и y_i – это значения из таблицы.

 

Понятие комплексного числа

Комплексные числа – выражения вида , a,b – действительные числа, i – мнимая единица, . Числа действительные, 0 +bi – чисто мнимые.

Число a – действительная часть числа z, , b – мнимая часть числа z, , модуль: .

Сопряжённое число (отличается знаком мнимой части). Два комплексных числа z ₁ и z ₂ равны, если a ₁ = a ₂; b ₁ = b ₂. Комплексное число равно 0, если a = 0, b = 0. С комплексными числами можно производить арифметические операции (по правилам алгебры):

.

.

_.

=

Решение квадратного уравнения: ax ² +bx+c=0, а 0,

1) если D > 0, то 2 действительных корня: ,

2) если D=0 то

3) если D < 0, то 2 комплексных корня: .

Раздел IV. Интегральное исчисление