Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Пусть функция f (x)определена и непрерывна при всех .

Тогда несобственный интеграл . Если предел существует, то интеграл существует или сходится, если предел не существует, то интеграл расходится (не существует), т.е. не имеет конечного значения.

Геометрический смысл: выражает площадь бесконечной области, заключенной между линиями .

Аналогично,

Для последнего равенства должны существовать оба интеграла, с – число.

Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

y

0

.

Пример 2. При каких значениях параметра α интеграл сходится и при каких расходится?

α≠1; α=1; .

Пример 3.

Если требуется установить, сходится ли данный интеграл или расходится, удобно применять теоремы:

1. Если для всех выполняется неравенство и если сходится, то тоже сходится и .

2. Если для всех : причем расходится, то и расходится.

3. Если сходится, то и сходится.

Пример 4. Сходится ли ?

При : , , поэтому (т.1) тоже сходится и < 1.

Пример 5. Исследовать .

Но – расходится, поэтому рассматриваемый интеграл тоже расходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость.

Подынтегральная функция знакопеременная. Но , значит, интеграл сходится, и по т.3 сходится и .

 

 

Несобственные интегралы от функций, имеющих разрыв

 

Пусть функция f (x) определена и непрерывна при , а при x=b функция либо не определена, либо терпит разрыв. В этом случае нельзя говорить об , как о пределе интегральной суммы, поскольку этот предел может не существовать.

Интеграл Если предел существует, то интеграл сходится, иначе – расходится.

Если функция имеет разрыв при х=а, то – аналогично, если предел существует, то интеграл сходится, иначе – расходится.

Если f (x) имеет разрыв в точке внутри отрезка , то – существует, если существуют оба интеграла в правой части.

Пример 1. Исследовать сходимость .

– сходится.

Пример 2. – интеграл расходится.

Геометрические приложения определенного интеграла

 

Вычисление площади плоской фигуры

 

а) Площадь плоской фигуры S = ,если

Если f (x) <0 на интервале интегрирования, то рассматривают интеграл от модуля (или изменяют знак). S или .

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком и осью абсцисс, если

.

Более удобной является формула: S = где .

 

y

f ₂(x)

 

 

f ₁(x)

0 х

Пример 2. Найти площадь, ограниченной параболой y = x ² + 1 и прямой x + y =3

(ед²)..

 

б) Пусть функция задана в параметрической форме:

Пример 3. Вычислить площадь одной арки циклоиды

x = 0, t = 0; x = 2 a, t = 2 .

M

N

0 x

в) Если кривая задана в полярных координатах:

Разобьем данную площадь радиус – векторами на n частей. Пусть углы между радиус – векторами равны Площадь сектора Площадь:

Пример 4. Найти S, ограниченную кардиоидой:

Вычислить половину площади:

 

Длина дуги кривой

 

а) Пусть кривая задана уравнением y = f (x). Возьмем на точки A, M ₁, M ₂ ,…M_i,…B, и проведем хорды, которые обозначим l ₁, l ₂ ,… l_n. Получим ломанную , вписанную в дугу АВ. Длина ломаной: . Длина дуги – предел: Если на отрезке [ a, b ] f (x), непрерывны, то этот предел существует. Пусть y_i = f(x_i) – f(x_{i– 1} ), тогда . По теореме Лагранжа , , по условию, f(x) и – непрерывны, поэтому существует предел интегральной суммы, который равен определенному интегралу:

L = = .

Пример. Найти длину дуги кривой y = x^3/2, .

L =

б) Если кривая задана параметрически: то длина дуги

L=

в) Пусть кривая задана в полярных координатах: тогда

тогда L = .

Пример. Найти длину дуги кардиоиды:

длина дуги:

 

Вычисление объема и площади поверхности вращения.

 

 

Пусть имеется тело, для которого известна площадь сечения, перпендикулярного оси ох, т.е. S = S (x). Проведем плоскости, перпендикулярные оси ох. Они разобьют тело на слои, V_слоя = =S (x_i) x_i (цилиндр), тогда Переходя к пределу: V =

Объем тела вращения:

 

Если ось вращения – ось O Y, то объем тела вращения: V_y = .

Если ось вращения – ось O X, то объем тела вращения:

Площадь поверхности вращения.

Разобьем [ a, b ] на n частей и проведем ломаную. При вращении ломаной получаются усеченные конусы (цилиндры). Площадь поверхности длина хорды .

Пример: Объем тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями: 2 y = x² и 2 x + 2 y – 3 = 0.

 

 

Раздел V. Функции нескольких переменных

Глава 12. Функции нескольких переменных