Условный экстремум функции нескольких переменных

 

Во многих задачах на отыскание наибольших и наименьших значений функции нескольких переменных эти переменные связаны друг с другом некоторым условием – это условный экстремум.

Рассмотрим вопрос об условном экстремуме функции z=f (x,y) (1) при условии, что x и y связаны уравнением (2).

Если можно выразить y из (2) и подставить в (1), то получим функцию одного переменного x и далее очевидно. Введём функцию Лагранжа где – коэффициент Лагранжа. Далее найдём частные производные функции по x, y, и приравняем к нулю. Получим систему трёх уравнений с тремя неизвестными: x, y, , из которой определим x и y.

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа для найденных значений x, y, при условии, что dx и dy связаны уравнением Функция f (x,y) имеет условный максимум, если , и условный минимум, если Если для F (x,y) положителен, то в этой точке условный максимум f (x,y), если A<0, и условный минимум, если A>0.

Пример 1. Найти экстремум функции z= 6 – 4 x – 3 y при условии (сечение цилиндра плоскостью).

Функция Лагранжа:

или

Находим тогда Если и , то >0 и будет условный минимум если , то <0 – максимум

Пример 2. Выбрать из прямоугольных листов периметра 2p лист с наибольшей площадью. Пусть x,y – длина и ширина, тогда площадь u=xy, x и y связаны отношения: 2х+2у=2р, или =x+y-p=0. Составим функцию: =xy+ (x+y-p), найдем частный производные и решим систему:

.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

 

Касательной плоскостью к поверхности в точке (точке касания) называется плоскость, в которой лежит все касательные в точке к различным прямым, проведённым на поверхности через эту точку.

Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.

Если уравнение поверхности , то уравнение касательной плоскости в точке M ₀(x ₀, y ₀, z ₀): , уравнение нормали: Если поверхность задана в виде F (x,y,z)=0, то

– уравнение касательной плоскости.

– уравнение нормали.

Пример. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

уравнение касательной плоскости: нормали:

 

Метод наименьших квадратов

Пусть известные значения некоторой функции f (x) образуют таблицу:

х	x 1	x 2	…	xn
f (x)	y 1	y 2	…	yn

Требуется найти аналитическое выражение для этой функции.

Можно применить метод интерполяции, однако совпадение значений в узлах может вовсе не означать совпадения характеров поведения исходной и интерполирующей функции.

Поставим задачу следующим образом: найти функцию заданного вида y = F (x), которая в точках x ₁, x ₂, …, x_n принимает значения как можно более близкие к табличным значениям y ₁, y ₂, …, y_n. Следует заметить, что строгая функциональная зависимость для экспериментально полученной таблицы наблюдается редко, однако искомая формула (уравнение регрессии y на х) позволяет находить значения функции для не табличных значений х.

Предположим, что приближающая функция F (x) в точках x ₁, x ₂, …, x_n имеет значения . Тогда поставленная задача может быть сформулирована следующим образом: найти функцию заданного вида F (x) так, чтобы расстояние между точками М (y ₁, y ₂, …, y_n) и было наименьшим, т.е. величина была бы наименьшей, или сумма квадратов должна принимать наименьшее значение.

В качестве приближающих функций в зависимости от вида функции f (х) часто используют функции: а) y = ax+b, б) y= ax² + +bx + c, в) y = ax^m, г) y = ae^mx, д) y = 1 / (ax) + b, e) y = a ln x + b, ж) y = a/x + b, з) y = x / (ax + b), где a, b, c, m – параметры, которые необходимо определить.

Пусть необходимо определить три параметра, например, a, b, c, тогда искомая функциябудет является функцией этих параметров: F (x_i, a, b, c). В обозначениях, принятых выше, F (x_i, a, b, c) = = , i = 1,2,…, n.

Обозначим сумму квадратов разностей соответствующих значений функций f (x) и F (x) как U (a, b, c). Тогда получаем: . Запишем необходимые условия экстремума: . Найдя частные производные, получаем систему:

(1)

Решая эту систему трех уравнений с тремя неизвестными, определим значения параметров a, b, c и конкретный вид искомой функции F (x, a, b, c). Изменение количества параметров не приведёт к искажению сущности метода, а выразится лишь в изменении количества уравнений в системе.

Рассмотрим подробнее линейную регрессию, т.е. будем искать приближающую функцию в виде: F (x, a, b) = ax + b. Частные производные по параметрам . Составим систему уравнений (1):

Поскольку необходимо найти два параметра, то получили систему двух уравнений с двумя неизвестными. Преобразуем эту систему:

или .

Это система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (a, b). Решив ее, определяем параметры a и b:

Величины x_i и y_i – это значения из таблицы.

 

Понятие комплексного числа

Комплексные числа – выражения вида , a,b – действительные числа, i – мнимая единица, . Числа действительные, 0 +bi – чисто мнимые.

Число a – действительная часть числа z, , b – мнимая часть числа z, , модуль: .

Сопряжённое число (отличается знаком мнимой части). Два комплексных числа z ₁ и z ₂ равны, если a ₁ = a ₂; b ₁ = b ₂. Комплексное число равно 0, если a = 0, b = 0. С комплексными числами можно производить арифметические операции (по правилам алгебры):

.

.

_.

=

Решение квадратного уравнения: ax ² +bx+c=0, а 0,

1) если D > 0, то 2 действительных корня: ,

2) если D=0 то

3) если D < 0, то 2 комплексных корня: .