Понятие о первообразной и неопределенном интеграле.

Понятие о первообразной и неопределенном интеграле.

Пусть функция f(x) и F(x) определены на некотором множестве X. Если функция F(x) дифференцируема на множестве X и для всех x X выполняется равенство: , то функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном множестве X.

Если F(x) одна из первообразных для функции f(x) на некотором множестве X, то любая первообразная (x) для функции f(x) на множестве X имеет вид: Ф(x)=F(x)+C, где C – некоторая постоянная.

Совокупность всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x) на множестве X называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом множестве X.

Неопределенный интеграл обозначается . В этом обозначении знак ∫ называется знаком интеграла, - подынтегральной функцией, - подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.

Если F(x) некоторая первообразная для функции f(x) на множестве X, то , где C – const.

Операцию нахождения неопределенного интеграла от данной функции, которая является обратной операции дифференцирования, называется интегрированием.

 

Основные свойства неопределенного интеграла.

1) . Действительно

2) . Действительно , где dC=0

3)

4)

5)

Основные методы интегрирования. Метод замены переменной интегрирования.

Если первообразная F(x) функции f(x) является элементарной функцией, то говорят, что интеграл выражается в элементарных функциях.

Однако интеграл от элементарной функции может и не быть функцией элементарной.

Общего метода, позваляющего судить о том, выражается ли данный неопределенный интеграл через элементарные функции, не существует.

Однако можно указать ряд приемов позваляющих выразить некоторые интегралы через элементарные функции, а так же классы функций, для которых задача нахождения первообразных всегда разрешима.

Метод замены переменной интегрирования

Существует два варианта метода замены переменной интегрирования:

1)Метод подведения функции под знак дифференциала.

По определению дифференциала функции . Переход в этом равенстве с лева на право называют подведением множителя под знак дифференциала.

Пусть требуется найти интеграл вида . Если и дифференцируемая функция, то

2)Метод подстановки

Пусть требуется вычислить интеграл , где функция f(x) определена на некотором множестве X. Введем новую переменную формулой где функция дифференцируема на некотором множестве T и осуществляет взаимно однозначное отображение T на X, т.е. имеет обратную функцию . Справедливо равенство: . Таким образом, вычисление сводится к вычислению интеграла , который может оказаться проще исходного, и последующей подстановке .

Основные методы интегрирования. Интегрирование по частям.

Если первообразная F(x) функции f(x) является элементарной функцией, то говорят, что интеграл выражается в элементарных функциях.

Однако интеграл от элементарной функции может и не быть функцией элементарной.

Общего метода, позваляющего судить о том, выражается ли данный неопределенный интеграл через элементарные функции, не существует.

Однако можно указать ряд приемов позваляющих выразить некоторые интегралы через элементарные функции, а так же классы функций, для которых задача нахождения первообразных всегда разрешима.

Интегрирование по частям

Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на множестве X и кроме того, на этом множестве существует интеграл , то на нем существует и интеграл , причем . Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Ее используют в тех случаях, когда подынтегральное выражение f(x)dx можно так представить в виде , что интеграл, полученный в правой части формулы, может оказаться проще исходного интеграла. При этом за u удобно принимать множитель, который упрощается при дифференцировании.

Большая часть интегралов, берущихся по формуле интегрирования по частям может быть разбито на 3 группы:

1)Интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: .

Для вычисления интегралов первой группы следует применить формулу интегрирования по частям, полагая в ней за u(x) одну из этих указанных функций. В случае если подынтегральная функция содержит в качестве множителя формулу интегрирования по частям придется применять m раз.

2)Интегралы вида: , , , где - многочлен степени n. Для вычисления интегралов второй группы формулу интегрирования по частям следует применять n раз, причем в качестве u(x) каждый раз выбирают многочлен соответствующей степени. После каждого интегрирования по частям эта степень будет понижаться на единицу.

3)Интегралы вида .

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке и F(x) – какая-либо ее первообразная, то справедлива формула Ньютона-Лейбница: .

10. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке , а функция имеет непрерывную производную на отрезке , причем отрезок является множеством значений функции и , . Тогда справедлива формула: . Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Теорема. Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула: . Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

11. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция f(x) определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке , где .

Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от функции f(x) называется , который обозначают символом: . Таким образом по определению .

Если конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогично вводятся несобственные интегралы: , .

12. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Предположим, что функция f(x) определена на промежутке и не ограничена при , т.е. .

Будем считать, что для любого сколь угодно малого числа Е на отрезке функция f(x) интегрируема, т.е. существует .

называют несобственным интегралом от неограниченной функции f(x) на промежутке и обозначают символом .

Аналогично, если f(x) не ограничена при , то положим .

Если же не ограничена при , , то .

Несобственный интеграл от неограниченной функции называют сходящимся, если предел конечный, в противном случае интеграл называют расходящимся.

 

13. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия. ДУ называется ур-е связывающее независимые переменные, их функцию и производные этой функции.

Если неизвестная функция зависит только от одной переменной, то ДУ называется обыкновенным.

Если же неизвестная функция зависит от нескольких переменных и ДУ содержит её частные производные по этим переменным, то ДУ называем уравнением частных производных.

Порядком ДУ называется наивысший порядок производной, входящей в это ур-е.

Обыкновенное ДУ первого порядка имеет вид: F(x,y,y’)=0 (17.1)

Или в разрешённом относительно y’ виде: y’=f(x,y) (17.2)

Решением ДУ называется такая дифференциальная функция y=y(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество, например: F(x,y(x),y’(x))=0 или y’(x)=f(x,y(x))

Процесс нахождениявсех решений ДУ называется инрегрированием, график решения y=y(x) ДУ называется гистегральной прямой.

Задачи Коши для ДУ первого порядка состоит в нахождении решения y=ϕ(x)данного ДУ, удовлетворяющих начальному условию y(x)=y’.

Общим решением ДУ первого порядка называется функция y=ϕ(x,C), обладающая следующим свойствами:

1) Она является решением данного уравнения при любых значениях постоянной С принадлежащих некоторому множеству.

2) Для любого начального условия существует единственное значение С=С₀, при котором функция y=ϕ(x, С₀)удовлетворяет заданному начальному условию y(x₀)=y₀

Решением ДУ, выраженное в неявной форме, называется общим интегралом ур-я.

Общий интеграл имеет вид Ф(х,у,С)=0

Частным решением ДУ называется решение, полученное из общего решения при конкретном значении С: y=ϕ(x, С₀)

Аналогично определяется частный интеграл Ф(х,у,С₀)=0

Встречаются ДУ имеющие решения которые не получаются из общего решения ни при каких значениях С (в том числе и при С= ). Такие решения называются особыми.

14. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Пример. Определение 17,1

Ур-е вида М₁(х)М₂(у)dx+N₁(x)N₂(y)dy=0 17.3

Называется ур-е с разделяющимися переменными. Предположив, что N₁(x)N₂(y) 0, и разделив на это произведение обе части ур-я (17,3) получим ур-е: dx+ dy=0 17.4

Которое называется ур-ем с разделёнными переменными.

Интегрируя обе части ур-я (17,4), находим общий интеграл + =С

Действительные корни ур-й N₁(x)=0, )=0 является решениями исходного ур-я. Эти решения, и только они, могут оказаться особыми.

Пример 17,1. Найти общее решение ДУ

Хуdx+(x+1)dy=0

Решение.

Это ур-е с разделяющимися переменными. Разделив данное ур-е на произведение y(x+1) 0, получим: +

Интегрируя обе части полученного ур-я, имеем:

+ =ln ,

dx+ = ln , откуда

x-ln ln =ln ,

xlnC-ln +ln =ln ,

=C y=C(x+1)e^-x –общее решение исходного ур-я

15. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка (определение, метод решения). Опред.17.2 Функция φ(х,y) называется однороднойфункцией n-го измерения относительно переменных x, y, если для любого t?R выполняется тождество φ(tx, ty)= , где t?Z.

Опред. 17.3 ДУ вида M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (17.5)

Называется однородным, если М(х,у) и N(х,у) – однородные функции одного измерения.

Это уравнение всегда может быть приведено к виду:

=φ

С помощью подстановки у=uх или (х=uу), где u=u(x), однородное уравнение преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными.

При этом y’=u’x+u(или dy=xdu+udx)

Пример17.2.Решить уравнение y‘=

Решение. Имеем y‘=1+

Представим y=ux, y‘=u‘x+u, получим уравнение с разделяющимися переменными: u‘x+u=1+u => u‘x=1 или xdu=dx.

Интегрируя последнее уравнение и подставляя (y/x) вместо u, находим общее решение исходного уравнения:

.

16. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка (определение, методы решения). Определение 17.4. Уравнение вида y’+P(x)y=Q(x) (или A(x)y’+B(x)=C(x)(17.6) называются линейным ДУ.

При этом уравнение: y’+P(x)=0, в котором правая часть тождественно равна нулю, называется линейным однородным, а уравнение 17.6, в котором Q(x)≠0 – линейным неоднородным.

Общее решение уравнения 17.7 имеет вид:

Общее решение неоднородного линейного уравнения, можно найти одним из следующих методов:

1) Метод вариации произвольной постоянной (Лагранжа), состоит в том, что сначала находят общее решение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 соответственно линейного однородного уравнения. Затем, варьируя произвольную постоянную,т.е.: полагая и подставляя y в уравнение 17.6 получаем C’(x)* =Q(x). Из последнего уравнения определим С(х): С(х)= . Следовательно общее решение неоднородного линейного уравнения имеет вид: у= ()

2) Метод подстановки заключается в том, что с помощью подстановки y=u(x)v(x), где u,v – неизвестные функции, уравнение 17.6 к виду: u’v+uv’+P(x)uv=Q(x) Следовательно

u’v+u(v’+P(x)v)=Q(x). Так кА одна из функций выбирается произвольно, тогда функция u(x) определяется из уравнения u’(x)v(x)=Q(x), u(x)=Q(x) dx+C

3) Метод интегрирующего множителя (метод Эйкера) Обе части уравнения 17.6. умножим на интегрирующий множитель µ= . В результате получим: y’ +P(x)y =Q(x) .

Общее решение полученного уравнения имеет вид:

Y= ()

 

 

17. Дифференциальные уравнения высших порядков. Общие понятия. Дифференциальное уравнение n-го порядка называют уравнение вида

Y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y^`,…,y⁽ⁿ⁾)=0 (18.1)

Или

F(x,y,y`,…,y(n))=0 (18.2)

Решением такого уравнения будет всякая n раз дифференцированная функция y=u(x),обращающая уравнение (18.1) или (18.2) в тождества. Задача Коши для дифф.ур-я (18.1) состоит в том, чтобы найти такое решение этого уравнения, которое удовлетворяет начальное условие:

Y(x₀)=y₀, y^{`</sup>(x<sub>0</sub>)=y<sup>`}₀, y^{``</sup>(x<sub>0</sub>)=y<sup>``}₀,…, y^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1), (18.3)

Где y0, y`0, y``0, y0(n-1) – заданные числа(некоторые начальные условия).

Общим решением уравнения (18.1) или (18.2) называется функция

Y=µ(x,C₁,C₂,…,C_n) (18.4)

Которая при любых значениях произв. постоянных C1,C2,…,Cn является решением этого дифф.ур-я и при соответствующем выборе произв. постоянных C1,C2,…,Cn будет решением любой задачи Коши, поставленной для данного уравнения.

Общим интегралом уравнения (18.1) или (18.2) называется соотношение вида

Ф(x,C1,C2,…,Cn)=0 (18.5)

Неявно определяющее общее решение этого уравнения.

Частным решением(интегралом) уравнения (18.1) или (18.2) называется всякое решение, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных C1,C2,…,Cn.

18. Уравнение вида . Уравнение вид .

Общее решение данного уравнения получается n-кратным интегрированием:

 

…………………………………………………………………

Где .

Пример 18.1 Найти общее решение уравнения: y’’’ =

Решение:

y’’ = 2 = - + C₁

y’ =

Таким образом общее решение исходного уравнения имеет вид:

y =

 

19. Уравнения вида , не содержащие искомой функции и ее производных . Данное ур-ие с помощью замены y^(k) = p(x) можно свести к ур-ию порядка n-k: F(x, p, p’,…,p^(n-k))=0

Предположим, что для полученного ур-ия найдено общее решение

p(x)=φ(x, c₁, c₂,…,c_n-k)

Тогда искомую ф-ию y(x) можно получить путем k-кратного интегрирования ф-ии р(х)

Простейшим из таких ур-ий имеет вид

F(x, y’, y”)=0 или y”=f(x, y’)

С помощью подстановки y’=p(x) его сводят к ур-ию 1-го порядка

=f(x, p) с неизвестной функцией р, а затем из ур-ия y’=p(x) находят у.

Пример 18.2. Найти частное решение ур-ия

y”- = x(x-1), y(2)=1, y’(2)= -1

Решение. Это ур-ие вида y”=f(x, y’).

Полагая y’=p(x), y”= (y”=p’(x)), получаем линейное дифференциальное ур-ие 1-го порядка относительно неизвестной ф-ии р(х):

p’- = x(x-1).

Полагая в последнем ур-ии p=uv, p’=u’v+uv’, получаем u’v+uv’- =х(х-1) или u’v+u(v’- ) = x(x-1). Определяем v(x), полагая - =0 или = , = ;

Интегрируем последнее ур-ие: =

Тогда ln =ln или v=x-1.Определим u(x) из ур-ия u’(x-1)=x(x-1), u’=x, u= +C₁

След., р=( +С₁)(х-1)= (x³-x²)+C₁x-C₁.Возвращаясь к переменной у, имеем:

y’= (x³-x²)+C₁x-C₁, y= dx + - C₁x+C_{2 =} ( - )+ - C₁x+C₂ = - + - C₁x+C₂

Т.о., общее решение исходного ур-ия имеет вид:

у= - + - C₁x+C_2.

Воспользовавшись начальным условием, получаем систему

откуда С₂= , С₁= -3

След., частное решение исходного ур-ия имеет вид у= - - +3х+ .

 

20. Уравнения вида , не содержащие независимой переменной. 18.4 Ур-ия вида F(y, y’, y”, y⁽ⁿ⁾)=0, не содержащие независимой переменной

Если положить y’=p(y), а за новую переменную принять у, то порядок данного ур-ия понизится на единицу. В этом случае производные y’”, y”,…, находят по правилу дифференцирования сложной ф-ии:

y”=p’(y)y’=p’(y)p,

y”’=p”(y)y’p+p’(y)p’(y)y’=p”(y)p²(p’(y))²p

Простейшее из таких ур-ий имеет вид:

F(y, y’, y”)=0 или y”=f(y,y’).

С помощью подстановки y’=p(y) его сводят к ур-ию p*p’(y)=f(y,p), с неизвестной функцией р, затем из ур-ия y’=p(y) находят у.

Пример 18.3 Найти общее решение или общий интеграл ур-ия yy”+(y’)²=0

Решение. Это ур-ие вида F(y, y’, y”)=0. Положим y’=p(y). Тогда y”=p’(y)y’=p’(y)p и данное ур-ие примет вид ypy’(y)+p²=0 или p(y +p)=0. Пусть р≠0. Тогда у +р=0, ydp+ydy=0. Разделив ур-ие на р*у и проинтегрировав его, получим:

= - , ln = -ln + ln , p= .

Подставив в последнее ур-ие p= , получим ур-ие = , ydy=C₁dx. После его интегрирования имеем:

= С₁х+С₂, у²=2(С₁х+С₂).

Т.о., получим общий интеграл исходного ур-ия.

21. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Определение 18.2 Уравнение вида

a _n y ⁿ + a_(n-1)y^(n-1) + a_(n-2)y^(n-2) + … + a₁y¹ + a₀y =0 (18.6)

где a _i (i=0,n) - постоянные числа, называются линейным однородным ДУ n –го

порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения (18.6) имеет вид:

y = C₁y₁ + C₂y₂ + … + C_ny_n, (18.7)

где C_i(i=1,n) произвольные постоянные, y_i(i=1,n) частные решения уравнения (18.6).

Частные решения уравнения(18.6) ищут в виде: y = e ^kx.

Определяют коэффициенты k из характеристического уравнения:

a_nkⁿ + a_(n-1)k^(n-1) + a_(n-2)k^(n-2) + … + a₁k + a₀ =0 (18.8)

При решении уравнения (18.8) возможны следующие случаи:

1) Все корни характеристического уравнения (18.8) действительны и различны. Тогда каждому k_i соответствует частное решение вида:

yi = e^(k_ix), i=1,n

Эти частные решения являются линейно независимыми и общее решение уравнения (18.6) имеет вид:

y = C₁e^(k₁x) + C₂e^(k₂x) + … + C_ne^(k_nx).

2) Все корни действительны и среди них имеются равные.

В этом случае каждому действительному корню k кратности r соответствует r линейно независимых частных решений

e^kx, xe^kx, x²e^kx, …, x^(r-1)e^kx .

Если характеристическое уравнение (18.8) имеет корни k1 = k2 = … = kr = k, k(r+1), …, kn; то общее решение уравнения (18.6) запишется в виде:

y = e^kx(C₁ + C₂x + … +C_rx^(r-1)) + C_(r+1)e^(k_(r+1)x) + … + C_ne^(k_nx)

3) Среди корней характеристического уравнения имеются комплексные. Тогда каждой паре комплексных корней k₁ = _I, k₂ = _I кратности m соответствует m пар линейно независимых частных решений вида:

e cos x, xe cos x, …, x e cos x;

e sin x, xe sin x, …, x e^( x) sin x.

Т.е. каждой паре комплексных сопряженных корней k₁ = _I, k₂ = _I соответствует в общем решении уравнения (18.6) слагаемое вида

e^() (C₁cos x + C₂sin x).

Свойства вероятности.

1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно, P(A)=m/n=n/n=1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно, P(A)=m/n=0/n=0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0<m/n<1, следовательно, 0<P(A)<1.Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0≤P(A)≤1.

Геометрические вероятности.

Ещё один недостаток классического определения вероятности состоит в том, что она неприменима к испытаниям с бесконечным числом исходов.

Поэтому водят геометрические вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.)

1. Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу направлена точка.

Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L.

В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

2. Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка.

Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от её расположения относительно G, ни от формы g.

В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру определяется равенством

Формула полной вероятности.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂,…,В_n, которые образую полную группу.

Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности события А:

Р_В1(А)*Р_В2(А)*…*Р_Вn(А)

Теорема 20.7. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂,…,В_n, образующих полную группу, равна сумме произведения вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность собтия А:

P(A) = P_В1(A)*P(В1) + P_В2(A)*P(2) +...+ P_Вn(A)*P(Вn) (20.13)

Формулу (20.13) называют «формулой полной вероятности».

Пример 20.10. В первой коробке содержится 20 радиоламп. Из них 18 стандартные, во второй коробке – 10 ламп, из них 9 стандартные. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлечённая из первой коробки, будет стандартной.

Решение. Обозначим через А событие «из первой коробки извлечена стандартная лампа»

Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие В1), либо нестандартная (событие В2).

Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа, Р(В1) = 5/10

Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа, Р(В2)=1/10

Условная вероятность того, что из п