График функции распределения.

П.1. График ф-ии распределения

Указанные св-ва позволяют представить, как выглядит график ф-ии распределения непрерывной случайной величины (НСВ) (рис.21.2)

1) График расположен в пологе, ограничен прямыми у=0, у=1 (св-во 1)

2) При возрастании х в интервале (a;b), в который заключены все возможные значения СВ, график и поднимается вверх (2-е св-во)

3) При х а

Плотность распределения вероятностей НСВ. Свойства плотности распределения.

Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.

Математическое ожидание ДСВ.

Как уже известно, закон распред-я полностью хар-ет СВ. Однако часто закон распред-я неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоватьс я числами, котор. Описывают СВ суммарно; такие числа называются числовыми характеристиками СВ.

К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Определение 21.4 Мат.ожиданием М(х) ДСВ называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности.

Пусть ДСВ Х может принимать только зн-ия Х1, Х2,…, Хn, вероятности котор. соответ-но равны Р1,Р2,…,Рn.

Тогда мат.ожидание М(х) СВ Х определяется равенством:

(21.5.)

Если ДСВ Х принимает мн-во возможных знач-й, то

,

Причем мат ожидание сущ-ет, если ряд в правой части сходится абсолютно.

Замечание 1. Из определения следует, что мат ожидание ДСВ есть неслучайная (постоянная) величина.

Замечание 2. (вероятностный смысл мат ожид.) мат ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему ариф. Наблюдаемых зн-ий величины.

Легко сообразить, что мат ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных зн-ий. Др. словами, на числовой оси возможные зн-ия расположены слева и справа от мат ожидания.

В этом смысле мат ожидание хар-ет расположение распред-я и поэтому часто его назыв. центром распределения.

Свойства математического ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях.

Св-во 1 Мат ожидание пост. величины равно самой постоянной: М(с)=с

Доказательство. Будем рассм-ть постоянную С как дискретную СВ, котор. имеет одно возможное зн-ие С и принимает его с вероятностью р=1. Следовательно, М(с)=с*1=с

Св-во 2. Постоянный множитель можно выносить за знак мат ожидания.

М(сх)=сМ(х)

Действительно,

Определение 21.5. Две СВ назыв. независимыми, если закон распред-я одной из них не зависит от того, какие возможные зн-ия приняла другая величина.

Определение 21.6. Произв-ие независимых СВ Х и У есть СВ ХУ, возможные зн-ия котор. равны произвед-ям каждого возможного зн-ия Х на каждое возможное зн-ие У; вероятности возможных зн-ий произв-ия ХУ равны произв-ям вероятностей возможных зн-ий сомножителей.

Св-во 3. Мат ожидание произв-ия 2-х независ-х СВ равно произв-ю их мат ожиданий:

М(ХУ)=М(Х)М(У)

Определение 21.7 Суммой СВ Х и У явл СВ Х+У возможные зн-ия, котор равны суммам каждого возможного зн-ия, котор. равны суммам каждого возможного зн-ия Х с каждым возможным зн-ем У, вер-ти возможных Х+У для независимых величин Х и У, равны произв-ям вер-тей слагаемых для зависимых величин – произв-ем вер-ти одного слагаемого на условную вер-ть второго.

Св-во 4.Мат ожидание суммы двух СВ равно сумме мат ожиданий слагаемых:

М(Х+У) = М(Х)+М(У)

Мат ожидание числа явлений события в независимых испытаниях.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом их котор. вер-ть появления события А постоянна и равна р. Найдем, чему равно среднее число появлений события А в этих испытаниях.

Теорема 21.2 Мат ожидание М(Х) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний н вер-ть появления события в каждом испытании: М(х) =

Пример 21.7 Вер-ть попадания в цель при стрельбе из орудия р=0,6. Найти мат ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы, и, след-но, искомое мат ожидание, рано:

(6 попаданий)