Классическое определение вероятности.

Вероятность—одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим.

Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них — красные, 3 — синие и 1—белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Эту возможность можно охарактеризовать числом, которое называют вероятностью события появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень воз- можности появления события.

Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взятий наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным исходом (элементарным событием). Элементарные исходы обозначим через ω₁, ω₂, ω₃ и т. д. В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов: ω₁ — появился белый шар; ω_2, ω₃— появился красный шар; ω_4, ω_5, ω₆—появился синий шар.

Очевидно, что элементарные исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны). Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. В нашем примере благоприятствуют событию А (появлению цветного шара) следующие 5 исходов: ω₂, ω₃, ω₄, ω_5, ω_6.

Таким образом, событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих А; в нашем примере А наблюдается, если наступит ω₂,или ω₃,или ω₄,или ω_5, или ω₆. В этом смысле событие А подразделяется на несколько элементарных событий (ω₂, ω₃, ω₄, ω_5, ω₆); элементарное же событие не подразделяется на другие события. В этом состоит различие между событием А и элементарным событием (элементарным исходом).

Определение 20.1 отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов m к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов n, образующих полную группу, называют вероятностью события А и обозначают формулой: P(A)=m/n. В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р(A)=5/6.

Свойства вероятности.

1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно, P(A)=m/n=n/n=1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно, P(A)=m/n=0/n=0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0<m/n<1, следовательно, 0<P(A)<1.Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0≤P(A)≤1.

Понятие относительной частоты. Статистическая вероятность.

Определение 20.2. Относительной частотой события W(A)называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний, т.е.W(A)=m/n, где m — число появлений события, n— общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту—после опыта.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события. Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Пример 20.3.Для определения всхожести семян взяли пробу. Из тысячи отобранных семян 115 не взошло. Какова относительная частота всхожести семян?

Решение.т.к взошло 1000-115=885 семян, то W(A)=m/n=885/1000=0,885.

Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными.

По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение: в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

Геометрические вероятности.

Ещё один недостаток классического определения вероятности состоит в том, что она неприменима к испытаниям с бесконечным числом исходов.

Поэтому водят геометрические вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.)

1. Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу направлена точка.

Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L.

В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

2. Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка.

Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от её расположения относительно G, ни от формы g.

В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру определяется равенством