Интегрирование простейших иррациональностей.

1)Интеграл вида приводится к табличным интегралам вида (если a или (если a

2)В интеграле вида (m из числителя выделяется производная 2ax+b. В результате приходим к табличным интегралам и интегралам первого вида.

3)Интегралы вида (m с помощью подстановки приводится к видам рассмотреным ранее.

4)Интегралы вида путем выдиления полного квадрата приводится к одному из трех видов:

1)

2)

3)

Интегралы этих трех видов тригинометрическими подстановками сводятся к интегралам функций рационально зависящих от и . Для этого достаточно в интегралах вида (1) применить подстановку или , в интегралах вида (2) – подстановку или , в интегралах вида (3) – подстановку или

 

 

Понятие определенного интеграла.

Пусть функция f(x) определена на отрезке . Разобьем произвольно этот отрезок на n частей точками где .

Обозначим , и пусть - длинна наибольшего из отрезков разбиения (ее называют диаметром разбиения). На каждом отрезке произвольно выберем точку и составим сумму , которую называют интегральной суммой Римана функции f(x), соответствующей данному разбиению отрезка и выбору точек .

Рассмотрим предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, т.е. .

Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при условии, что наибольшая из разностей , стремится к нулю, причем этот предел не зависит от способа разбиения отрезка и от выбора точек , то функцию f(x) называют интегрируемой по Риману на отрезке , а сам предел называют определенным интегралом от функции f(x) в пределах от a до b и обозначают символом .

По определению определенный интеграл от f(x) на , есть некоторое число I (его так же называют интегралом Римана от f(x) на )

 

Геометрический смысл определенного интеграла.

Пусть f(x) непрерывная на функция, причем для . Криволинейной трапецией называют фигуру ограниченную графиком функции f(x), прямыми , и осью .

Произведение f(x) равно площади прямоугольника с основанием и высотой f , а сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры, изображенной на рисунке.

Если при стремлении к нулю диаметра разбиения отрезка существует предел, то естественно величину I называют площадью криволинейной трапеции. Таким образом с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции есть площади соответствующей криволинейной трапеции: .

 

Основные свойства определенного интеграла.

1)Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

2)Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е. , где k-const.

3)Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме их интегралов, т.е.

4)Имеет место равенство: .

5)Для любых чисел a, b и с справедливо равенство: , если все три интеграла существуют.

6)При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак, т.е. .

7)Если на отрезке функция f(x) и удовлетворяют условию f(x) , то .

8)Если подынтегральная функция на отрезке интегрирования не меняет знак, то интеграл представляет собой число того же знака, что и функция, т.е. при f(x) (f(x) ) для .

9)(Теорема об оценке) Если M и m – наибольшее и наименьшее значения f(x) на отрезке , то .

10)(Теорема о среднем) Если f(x) непрерывна на , то существует такая , что .

11)Интегрирование в симметричных пределах можно упростить по формулам:

Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть f(x) – интегрируемая на отрезке функция, тогда для любого она будет интегрируема и на отрезке от . Рассмотрим интеграл являющийся функцией верхнего предела x. В этом равенстве использована переменная интегрирования t с тем, чтобы отличить ее от верхнего предела интегрирования.

Теорема. Если f(x) – непрерывна на функция и имеет место равенство , то , т.е. производная от интеграла с переменным верхним пределом интегрирования равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу. Эту теорему можно переформулировать следующим образом: если функция f(x) непрерывна на отрезке , то функция является ее первообразная на . Следовательно, .

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке и F(x) – какая-либо ее первообразная, то справедлива формула Ньютона-Лейбница: .

10. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке , а функция имеет непрерывную производную на отрезке , причем отрезок является множеством значений функции и , . Тогда справедлива формула: . Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Теорема. Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула: . Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

11. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция f(x) определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке , где .

Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от функции f(x) называется , который обозначают символом: . Таким образом по определению .

Если конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогично вводятся несобственные интегралы: , .

12. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Предположим, что функция f(x) определена на промежутке и не ограничена при , т.е. .

Будем считать, что для любого сколь угодно малого числа Е на отрезке функция f(x) интегрируема, т.е. существует .

называют несобственным интегралом от неограниченной функции f(x) на промежутке и обозначают символом .

Аналогично, если f(x) не ограничена при , то положим .

Если же не ограничена при , , то .

Несобственный интеграл от неограниченной функции называют сходящимся, если предел конечный, в противном случае интеграл называют расходящимся.

 

13. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия. ДУ называется ур-е связывающее независимые переменные, их функцию и производные этой функции.

Если неизвестная функция зависит только от одной переменной, то ДУ называется обыкновенным.

Если же неизвестная функция зависит от нескольких переменных и ДУ содержит её частные производные по этим переменным, то ДУ называем уравнением частных производных.

Порядком ДУ называется наивысший порядок производной, входящей в это ур-е.

Обыкновенное ДУ первого порядка имеет вид: F(x,y,y’)=0 (17.1)

Или в разрешённом относительно y’ виде: y’=f(x,y) (17.2)

Решением ДУ называется такая дифференциальная функция y=y(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество, например: F(x,y(x),y’(x))=0 или y’(x)=f(x,y(x))

Процесс нахождениявсех решений ДУ называется инрегрированием, график решения y=y(x) ДУ называется гистегральной прямой.

Задачи Коши для ДУ первого порядка состоит в нахождении решения y=ϕ(x)данного ДУ, удовлетворяющих начальному условию y(x)=y’.

Общим решением ДУ первого порядка называется функция y=ϕ(x,C), обладающая следующим свойствами:

1) Она является решением данного уравнения при любых значениях постоянной С принадлежащих некоторому множеству.

2) Для любого начального условия существует единственное значение С=С₀, при котором функция y=ϕ(x, С₀)удовлетворяет заданному начальному условию y(x₀)=y₀

Решением ДУ, выраженное в неявной форме, называется общим интегралом ур-я.

Общий интеграл имеет вид Ф(х,у,С)=0

Частным решением ДУ называется решение, полученное из общего решения при конкретном значении С: y=ϕ(x, С₀)

Аналогично определяется частный интеграл Ф(х,у,С₀)=0

Встречаются ДУ имеющие решения которые не получаются из общего решения ни при каких значениях С (в том числе и при С= ). Такие решения называются особыми.

14. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Пример. Определение 17,1

Ур-е вида М₁(х)М₂(у)dx+N₁(x)N₂(y)dy=0 17.3

Называется ур-е с разделяющимися переменными. Предположив, что N₁(x)N₂(y) 0, и разделив на это произведение обе части ур-я (17,3) получим ур-е: dx+ dy=0 17.4

Которое называется ур-ем с разделёнными переменными.

Интегрируя обе части ур-я (17,4), находим общий интеграл + =С

Действительные корни ур-й N₁(x)=0, )=0 является решениями исходного ур-я. Эти решения, и только они, могут оказаться особыми.

Пример 17,1. Найти общее решение ДУ

Хуdx+(x+1)dy=0

Решение.

Это ур-е с разделяющимися переменными. Разделив данное ур-е на произведение y(x+1) 0, получим: +

Интегрируя обе части полученного ур-я, имеем:

+ =ln ,

dx+ = ln , откуда

x-ln ln =ln ,

xlnC-ln +ln =ln ,

=C y=C(x+1)e^-x –общее решение исходного ур-я

15. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка (определение, метод решения). Опред.17.2 Функция φ(х,y) называется однороднойфункцией n-го измерения относительно переменных x, y, если для любого t?R выполняется тождество φ(tx, ty)= , где t?Z.

Опред. 17.3 ДУ вида M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (17.5)

Называется однородным, если М(х,у) и N(х,у) – однородные функции одного измерения.

Это уравнение всегда может быть приведено к виду:

=φ

С помощью подстановки у=uх или (х=uу), где u=u(x), однородное уравнение преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными.

При этом y’=u’x+u(или dy=xdu+udx)

Пример17.2.Решить уравнение y‘=

Решение. Имеем y‘=1+

Представим y=ux, y‘=u‘x+u, получим уравнение с разделяющимися переменными: u‘x+u=1+u => u‘x=1 или xdu=dx.

Интегрируя последнее уравнение и подставляя (y/x) вместо u, находим общее решение исходного уравнения:

.

16. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка (определение, методы решения). Определение 17.4. Уравнение вида y’+P(x)y=Q(x) (или A(x)y’+B(x)=C(x)(17.6) называются линейным ДУ.

При этом уравнение: y’+P(x)=0, в котором правая часть тождественно равна нулю, называется линейным однородным, а уравнение 17.6, в котором Q(x)≠0 – линейным неоднородным.

Общее решение уравнения 17.7 имеет вид:

Общее решение неоднородного линейного уравнения, можно найти одним из следующих методов:

1) Метод вариации произвольной постоянной (Лагранжа), состоит в том, что сначала находят общее решение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 соответственно линейного однородного уравнения. Затем, варьируя произвольную постоянную,т.е.: полагая и подставляя y в уравнение 17.6 получаем C’(x)* =Q(x). Из последнего уравнения определим С(х): С(х)= . Следовательно общее решение неоднородного линейного уравнения имеет вид: у= ()

2) Метод подстановки заключается в том, что с помощью подстановки y=u(x)v(x), где u,v – неизвестные функции, уравнение 17.6 к виду: u’v+uv’+P(x)uv=Q(x) Следовательно

u’v+u(v’+P(x)v)=Q(x). Так кА одна из функций выбирается произвольно, тогда функция u(x) определяется из уравнения u’(x)v(x)=Q(x), u(x)=Q(x) dx+C

3) Метод интегрирующего множителя (метод Эйкера) Обе части уравнения 17.6. умножим на интегрирующий множитель µ= . В результате получим: y’ +P(x)y =Q(x) .

Общее решение полученного уравнения имеет вид:

Y= ()

 

 

17. Дифференциальные уравнения высших порядков. Общие понятия. Дифференциальное уравнение n-го порядка называют уравнение вида

Y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y^`,…,y⁽ⁿ⁾)=0 (18.1)

Или

F(x,y,y`,…,y(n))=0 (18.2)

Решением такого уравнения будет всякая n раз дифференцированная функция y=u(x),обращающая уравнение (18.1) или (18.2) в тождества. Задача Коши для дифф.ур-я (18.1) состоит в том, чтобы найти такое решение этого уравнения, которое удовлетворяет начальное условие:

Y(x₀)=y₀, y^{`</sup>(x<sub>0</sub>)=y<sup>`}₀, y^{``</sup>(x<sub>0</sub>)=y<sup>``}₀,…, y^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1), (18.3)

Где y0, y`0, y``0, y0(n-1) – заданные числа(некоторые начальные условия).

Общим решением уравнения (18.1) или (18.2) называется функция

Y=µ(x,C₁,C₂,…,C_n) (18.4)

Которая при любых значениях произв. постоянных C1,C2,…,Cn является решением этого дифф.ур-я и при соответствующем выборе произв. постоянных C1,C2,…,Cn будет решением любой задачи Коши, поставленной для данного уравнения.

Общим интегралом уравнения (18.1) или (18.2) называется соотношение вида

Ф(x,C1,C2,…,Cn)=0 (18.5)

Неявно определяющее общее решение этого уравнения.

Частным решением(интегралом) уравнения (18.1) или (18.2) называется всякое решение, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных C1,C2,…,Cn.

18. Уравнение вида . Уравнение вид .

Общее решение данного уравнения получается n-кратным интегрированием:

 

…………………………………………………………………

Где .

Пример 18.1 Найти общее решение уравнения: y’’’ =

Решение:

y’’ = 2 = - + C₁

y’ =

Таким образом общее решение исходного уравнения имеет вид:

y =

 

19. Уравнения вида , не содержащие искомой функции и ее производных . Данное ур-ие с помощью замены y^(k) = p(x) можно свести к ур-ию порядка n-k: F(x, p, p’,…,p^(n-k))=0

Предположим, что для полученного ур-ия найдено общее решение

p(x)=φ(x, c₁, c₂,…,c_n-k)

Тогда искомую ф-ию y(x) можно получить путем k-кратного интегрирования ф-ии р(х)

Простейшим из таких ур-ий имеет вид

F(x, y’, y”)=0 или y”=f(x, y’)

С помощью подстановки y’=p(x) его сводят к ур-ию 1-го порядка

=f(x, p) с неизвестной функцией р, а затем из ур-ия y’=p(x) находят у.

Пример 18.2. Найти частное решение ур-ия

y”- = x(x-1), y(2)=1, y’(2)= -1

Решение. Это ур-ие вида y”=f(x, y’).

Полагая y’=p(x), y”= (y”=p’(x)), получаем линейное дифференциальное ур-ие 1-го порядка относительно неизвестной ф-ии р(х):

p’- = x(x-1).

Полагая в последнем ур-ии p=uv, p’=u’v+uv’, получаем u’v+uv’- =х(х-1) или u’v+u(v’- ) = x(x-1). Определяем v(x), полагая - =0 или = , = ;

Интегрируем последнее ур-ие: =

Тогда ln =ln или v=x-1.Определим u(x) из ур-ия u’(x-1)=x(x-1), u’=x, u= +C₁

След., р=( +С₁)(х-1)= (x³-x²)+C₁x-C₁.Возвращаясь к переменной у, имеем:

y’= (x³-x²)+C₁x-C₁, y= dx + - C₁x+C_{2 =} ( - )+ - C₁x+C₂ = - + - C₁x+C₂

Т.о., общее решение исходного ур-ия имеет вид:

у= - + - C₁x+C_2.

Воспользовавшись начальным условием, получаем систему

откуда С₂= , С₁= -3

След., частное решение исходного ур-ия имеет вид у= - - +3х+ .

 

20. Уравнения вида , не содержащие независимой переменной. 18.4 Ур-ия вида F(y, y’, y”, y⁽ⁿ⁾)=0, не содержащие независимой переменной

Если положить y’=p(y), а за новую переменную принять у, то порядок данного ур-ия понизится на единицу. В этом случае производные y’”, y”,…, находят по правилу дифференцирования сложной ф-ии:

y”=p’(y)y’=p’(y)p,

y”’=p”(y)y’p+p’(y)p’(y)y’=p”(y)p²(p’(y))²p

Простейшее из таких ур-ий имеет вид:

F(y, y’, y”)=0 или y”=f(y,y’).

С помощью подстановки y’=p(y) его сводят к ур-ию p*p’(y)=f(y,p), с неизвестной функцией р, затем из ур-ия y’=p(y) находят у.

Пример 18.3 Найти общее решение или общий интеграл ур-ия yy”+(y’)²=0

Решение. Это ур-ие вида F(y, y’, y”)=0. Положим y’=p(y). Тогда y”=p’(y)y’=p’(y)p и данное ур-ие примет вид ypy’(y)+p²=0 или p(y +p)=0. Пусть р≠0. Тогда у +р=0, ydp+ydy=0. Разделив ур-ие на р*у и проинтегрировав его, получим:

= - , ln = -ln + ln , p= .

Подставив в последнее ур-ие p= , получим ур-ие = , ydy=C₁dx. После его интегрирования имеем:

= С₁х+С₂, у²=2(С₁х+С₂).

Т.о., получим общий интеграл исходного ур-ия.

21. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Определение 18.2 Уравнение вида

a _n y ⁿ + a_(n-1)y^(n-1) + a_(n-2)y^(n-2) + … + a₁y¹ + a₀y =0 (18.6)

где a _i (i=0,n) - постоянные числа, называются линейным однородным ДУ n –го

порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения (18.6) имеет вид:

y = C₁y₁ + C₂y₂ + … + C_ny_n, (18.7)

где C_i(i=1,n) произвольные постоянные, y_i(i=1,n) частные решения уравнения (18.6).

Частные решения уравнения(18.6) ищут в виде: y = e ^kx.

Определяют коэффициенты k из характеристического уравнения:

a_nkⁿ + a_(n-1)k^(n-1) + a_(n-2)k^(n-2) + … + a₁k + a₀ =0 (18.8)

При решении уравнения (18.8) возможны следующие случаи:

1) Все корни характеристического уравнения (18.8) действительны и различны. Тогда каждому k_i соответствует частное решение вида:

yi = e^(k_ix), i=1,n

Эти частные решения являются линейно независимыми и общее решение уравнения (18.6) имеет вид:

y = C₁e^(k₁x) + C₂e^(k₂x) + … + C_ne^(k_nx).

2) Все корни действительны и среди них имеются равные.

В этом случае каждому действительному корню k кратности r соответствует r линейно независимых частных решений

e^kx, xe^kx, x²e^kx, …, x^(r-1)e^kx .

Если характеристическое уравнение (18.8) имеет корни k1 = k2 = … = kr = k, k(r+1), …, kn; то общее решение уравнения (18.6) запишется в виде:

y = e^kx(C₁ + C₂x + … +C_rx^(r-1)) + C_(r+1)e^(k_(r+1)x) + … + C_ne^(k_nx)

3) Среди корней характеристического уравнения имеются комплексные. Тогда каждой паре комплексных корней k₁ = _I, k₂ = _I кратности m соответствует m пар линейно независимых частных решений вида:

e cos x, xe cos x, …, x e cos x;

e sin x, xe sin x, …, x e^( x) sin x.

Т.е. каждой паре комплексных сопряженных корней k₁ = _I, k₂ = _I соответствует в общем решении уравнения (18.6) слагаемое вида

e^() (C₁cos x + C₂sin x).