![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Интегрирование простейших иррациональностей.Содержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
1)Интеграл вида 2)В интеграле вида 3)Интегралы вида 4)Интегралы вида 1) 2) 3) Интегралы этих трех видов тригинометрическими подстановками сводятся к интегралам функций рационально зависящих от
Понятие определенного интеграла.
Обозначим Рассмотрим предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, т.е. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм По определению
Геометрический смысл определенного интеграла.
Произведение f(x) Если при стремлении к нулю диаметра разбиения отрезка
Основные свойства определенного интеграла. 1)Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. 2)Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е. 3)Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме их интегралов, т.е. 4)Имеет место равенство: 5)Для любых чисел a, b и с справедливо равенство: 6)При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак, т.е. 7)Если на отрезке 8)Если подынтегральная функция на отрезке интегрирования не меняет знак, то интеграл представляет собой число того же знака, что и функция, т.е. 9)(Теорема об оценке) Если M и m – наибольшее и наименьшее значения f(x) на отрезке 10)(Теорема о среднем) Если f(x) непрерывна на 11)Интегрирование в симметричных пределах можно упростить по формулам: Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Пусть f(x) – интегрируемая на отрезке Теорема. Если f(x) – непрерывна на Формула Ньютона-Лейбница Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке 10. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке
Теорема. Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке 11. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования Пусть функция f(x) определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от функции f(x) называется Если Аналогично вводятся несобственные интегралы: 12. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Предположим, что функция f(x) определена на промежутке
Аналогично, если f(x) не ограничена при Если же не ограничена при Несобственный интеграл от неограниченной функции называют сходящимся, если предел
13. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия. ДУ называется ур-е связывающее независимые переменные, их функцию и производные этой функции. Если неизвестная функция зависит только от одной переменной, то ДУ называется обыкновенным. Если же неизвестная функция зависит от нескольких переменных и ДУ содержит её частные производные по этим переменным, то ДУ называем уравнением частных производных. Порядком ДУ называется наивысший порядок производной, входящей в это ур-е. Обыкновенное ДУ первого порядка имеет вид: F(x,y,y’)=0 (17.1) Или в разрешённом относительно y’ виде: y’=f(x,y) (17.2) Решением ДУ называется такая дифференциальная функция y=y(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество, например: F(x,y(x),y’(x))=0 или y’(x)=f(x,y(x)) Процесс нахождениявсех решений ДУ называется инрегрированием, график решения y=y(x) ДУ называется гистегральной прямой. Задачи Коши для ДУ первого порядка состоит в нахождении решения y=ϕ(x)данного ДУ, удовлетворяющих начальному условию y(x)=y’. Общим решением ДУ первого порядка называется функция y=ϕ(x,C), обладающая следующим свойствами: 1) Она является решением данного уравнения при любых значениях постоянной С принадлежащих некоторому множеству. 2) Для любого начального условия существует единственное значение С=С0, при котором функция y=ϕ(x, С0)удовлетворяет заданному начальному условию y(x0)=y0 Решением ДУ, выраженное в неявной форме, называется общим интегралом ур-я. Общий интеграл имеет вид Ф(х,у,С)=0 Частным решением ДУ называется решение, полученное из общего решения при конкретном значении С: y=ϕ(x, С0) Аналогично определяется частный интеграл Ф(х,у,С0)=0
Встречаются ДУ имеющие решения которые не получаются из общего решения ни при каких значениях С (в том числе и при С= 14. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Пример. Определение 17,1 Ур-е вида М1(х)М2(у)dx+N1(x)N2(y)dy=0 17.3 Называется ур-е с разделяющимися переменными. Предположив, что N1(x)N2(y) Которое называется ур-ем с разделёнными переменными. Интегрируя обе части ур-я (17,4), находим общий интеграл Действительные корни ур-й N1(x)=0, Пример 17,1. Найти общее решение ДУ Хуdx+(x+1)dy=0 Решение. Это ур-е с разделяющимися переменными. Разделив данное ур-е на произведение y(x+1) Интегрируя обе части полученного ур-я, имеем:
x-ln xlnC-ln
15. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка (определение, метод решения). Опред.17.2 Функция φ(х,y) называется однороднойфункцией n-го измерения относительно переменных x, y, если для любого t?R выполняется тождество φ(tx, ty)= Опред. 17.3 ДУ вида M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (17.5) Называется однородным, если М(х,у) и N(х,у) – однородные функции одного измерения. Это уравнение всегда может быть приведено к виду:
С помощью подстановки у=uх или (х=uу), где u=u(x), однородное уравнение преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными. При этом y’=u’x+u(или dy=xdu+udx) Пример17.2.Решить уравнение y‘= Решение. Имеем y‘=1+ Представим y=ux, y‘=u‘x+u, получим уравнение с разделяющимися переменными: u‘x+u=1+u => u‘x=1 или xdu=dx. Интегрируя последнее уравнение и подставляя (y/x) вместо u, находим общее решение исходного уравнения:
16. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка (определение, методы решения). Определение 17.4. Уравнение вида y’+P(x)y=Q(x) (или A(x)y’+B(x)=C(x)(17.6) называются линейным ДУ. При этом уравнение: y’+P(x)=0, в котором правая часть тождественно равна нулю, называется линейным однородным, а уравнение 17.6, в котором Q(x)≠0 – линейным неоднородным. Общее решение уравнения 17.7 имеет вид: Общее решение неоднородного линейного уравнения, можно найти одним из следующих методов: 1) Метод вариации произвольной постоянной (Лагранжа), состоит в том, что сначала находят общее решение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 соответственно линейного однородного уравнения. Затем, варьируя произвольную постоянную,т.е.: полагая
2) Метод подстановки заключается в том, что с помощью подстановки y=u(x)v(x), где u,v – неизвестные функции, уравнение 17.6 к виду: u’v+uv’+P(x)uv=Q(x) Следовательно u’v+u(v’+P(x)v)=Q(x). Так кА одна из функций выбирается произвольно, тогда функция u(x) определяется из уравнения u’(x)v(x)=Q(x), u(x)=Q(x) 3) Метод интегрирующего множителя (метод Эйкера) Обе части уравнения 17.6. умножим на интегрирующий множитель µ= Общее решение полученного уравнения имеет вид: Y=
17. Дифференциальные уравнения высших порядков. Общие понятия. Дифференциальное уравнение n-го порядка называют уравнение вида Y(n)=f(x,y,y`,…,y(n))=0 (18.1) Или F(x,y,y`,…,y(n))=0 (18.2) Решением такого уравнения будет всякая n раз дифференцированная функция y=u(x),обращающая уравнение (18.1) или (18.2) в тождества. Задача Коши для дифф.ур-я (18.1) состоит в том, чтобы найти такое решение этого уравнения, которое удовлетворяет начальное условие: Y(x0)=y0, y`(x0)=y`0, y``(x0)=y``0,…, y(n-1)(x0)=y0(n-1), (18.3) Где y0, y`0, y``0, y0(n-1) – заданные числа(некоторые начальные условия). Общим решением уравнения (18.1) или (18.2) называется функция Y=µ(x,C1,C2,…,Cn) (18.4) Которая при любых значениях произв. постоянных C1,C2,…,Cn является решением этого дифф.ур-я и при соответствующем выборе произв. постоянных C1,C2,…,Cn будет решением любой задачи Коши, поставленной для данного уравнения. Общим интегралом уравнения (18.1) или (18.2) называется соотношение вида Ф(x,C1,C2,…,Cn)=0 (18.5) Неявно определяющее общее решение этого уравнения. Частным решением(интегралом) уравнения (18.1) или (18.2) называется всякое решение, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных C1,C2,…,Cn. 18. Уравнение вида Общее решение данного уравнения получается n-кратным интегрированием:
………………………………………………………………… Где Пример 18.1 Найти общее решение уравнения: y’’’ = Решение: y’’ = 2 y’ = Таким образом общее решение исходного уравнения имеет вид: y =
19. Уравнения вида Предположим, что для полученного ур-ия найдено общее решение p(x)=φ(x, c1, c2,…,cn-k) Тогда искомую ф-ию y(x) можно получить путем k-кратного интегрирования ф-ии р(х) Простейшим из таких ур-ий имеет вид F(x, y’, y”)=0 или y”=f(x, y’) С помощью подстановки y’=p(x) его сводят к ур-ию 1-го порядка
Пример 18.2. Найти частное решение ур-ия y”- Решение. Это ур-ие вида y”=f(x, y’). Полагая y’=p(x), y”= p’- Полагая в последнем ур-ии p=uv, p’=u’v+uv’, получаем u’v+uv’- Интегрируем последнее ур-ие:
Тогда ln След., р=( y’= Т.о., общее решение исходного ур-ия имеет вид: у= Воспользовавшись начальным условием, получаем систему откуда С2= След., частное решение исходного ур-ия имеет вид у=
20. Уравнения вида Если положить y’=p(y), а за новую переменную принять у, то порядок данного ур-ия понизится на единицу. В этом случае производные y’”, y”,…, находят по правилу дифференцирования сложной ф-ии: y”=p’(y)y’=p’(y)p, y”’=p”(y)y’p+p’(y)p’(y)y’=p”(y)p2(p’(y))2p Простейшее из таких ур-ий имеет вид: F(y, y’, y”)=0 или y”=f(y,y’). С помощью подстановки y’=p(y) его сводят к ур-ию p*p’(y)=f(y,p), с неизвестной функцией р, затем из ур-ия y’=p(y) находят у. Пример 18.3 Найти общее решение или общий интеграл ур-ия yy”+(y’)2=0 Решение. Это ур-ие вида F(y, y’, y”)=0. Положим y’=p(y). Тогда y”=p’(y)y’=p’(y)p и данное ур-ие примет вид ypy’(y)+p2=0 или p(y
Подставив в последнее ур-ие p=
Т.о., получим общий интеграл исходного ур-ия. 21. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Определение 18.2 Уравнение вида a n y n + a(n-1)y(n-1) + a(n-2)y(n-2) + … + a1y1 + a0y =0 (18.6) где a i (i=0,n) - постоянные числа, называются линейным однородным ДУ n –го порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение уравнения (18.6) имеет вид: y = C1y1 + C2y2 + … + Cnyn, (18.7) где Ci(i=1,n) произвольные постоянные, yi(i=1,n) частные решения уравнения (18.6). Частные решения уравнения(18.6) ищут в виде: y = e kx. Определяют коэффициенты k из характеристического уравнения: ankn + a(n-1)k(n-1) + a(n-2)k(n-2) + … + a1k + a0 =0 (18.8) При решении уравнения (18.8) возможны следующие случаи: 1) Все корни характеристического уравнения (18.8) действительны и различны. Тогда каждому ki соответствует частное решение вида: yi = e^(kix), i=1,n Эти частные решения являются линейно независимыми и общее решение уравнения (18.6) имеет вид: y = C1e^(k1x) + C2e^(k2x) + … + Cne^(knx). 2) Все корни действительны и среди них имеются равные. В этом случае каждому действительному корню k кратности r соответствует r линейно независимых частных решений ekx, xekx, x2ekx, …, x(r-1)ekx . Если характеристическое уравнение (18.8) имеет корни k1 = k2 = … = kr = k, k(r+1), …, kn; то общее решение уравнения (18.6) запишется в виде: y = ekx(C1 + C2x + … +Crx(r-1)) + C(r+1)e^(k(r+1)x) + … + Cne^(knx) 3) Среди корней характеристического уравнения имеются комплексные. Тогда каждой паре комплексных корней k1 = e e Т.е. каждой паре комплексных сопряженных корней k1 = e^(
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-05; просмотров: 517; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.12.30 (0.009 с.) |