Интеграла II рода от пути интегрирования

Пусть и – две произвольные точки односвязной области плоскости . Точки и можно соединить различными линиями. По каждой из этих кривых интеграл имеет различные значения. Если же его значения по всевозможным кривым одинаковы, то говорят, что интеграл не зависит от пути интегрирования. В этом случае для интеграла достаточно отметить лишь его начальную точку и его конечную точку пути. Такой интеграл обозначают:

. (2.20)

Сформулируем в виде теоремы без доказательства условия, при которых криволинейный интеграл II рода не зависит от пути интегрирования.

Теорема 2.3 (признак независимости криволинейный интеграл II рода от пути интегрирования). Для того, чтобы криволинейный интеграл II рода не зависел от пути интегрирования в односвязной области , в которой функции и непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие:

. (2.21)

Пример 5. Вычислить .

w Решение. Так как , а , то и , тогда . Следовательно, по теореме 2.3 можно выбрать любой удобный путь интегрирования. От точки к точке будем двигаться по отрезкам, параллельным координатным осям (рис. 2.7), так как вычисление исходного интеграла в этом случае самое простое (п. 2.4).

Рис. 2.7

 

Следовательно, по свойству 4 криволинейного интеграла II рода

(п. 2.3) имеем . Так как отрезок задается уравнением , то , а , поэтому . Так как отрезок задается уравнением , то , а , тогда . Окончательно имеем: .

Ответ: . t

Рассмотрим еще две теоремы.

 

Терема 2.4. Если выполняется условие (2.21), то подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции , т. е. имеет место равенство:

. (2.22)

Тогда из равенства (2.22), согласно (2.20) и свойства определенного интеграла, получим:

,

т. е. . (2.23)

Формула (2.23) называется обобщенной формулой Ньютона-Лейб-ница для криволинейного интеграла II рода от полного дифференциала.

Теорема 2.5. Если подынтегральное выражение + есть полный дифференциал и путь интегрирования – замкнутая кривая, то

. (2.24)

Замечания

1. Утверждения, сформулированные в теоремах 2.3 – 2.5, равно-

сильны между собой, то есть, выполнение любого из них влечет за собой выполнение остальных.

2. Чтобы не путать переменную интегрирования с верхним пределом , переменную интегрирования договоримся обозначать другой буквой (например, , , и т. д.).

3. Функцию , удовлетворяющую условию (2.21), можно найти, используя формулу:

. (2.25)

В качестве начальной точки обычно берут начало координат .

4. Аналогичные результаты справедливы для криволинейного интеграла II рода по пространственной кривой . Условие (2.21), равенство (2.22), формулы (2.23) и (2.25) имеют соответственно вид:

, , , (2.26)

, (2.27)

, (2.28)

(2.29)

Пример 6. Показать, что выражение является полным дифференциалом функции . Найти функцию .

w Решение. Проверим выполнимость условия (2.21). Так как , то и так как , то . Следовательно, условие (2.21) выполняется и по теореме 2.4 исходное выражение является дифференциалом некоторой функции . Найдем ее по формуле (2.25).

Пусть и , тогда:

Ответ: . t

Самостоятельная работа

1. Вычислить:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ;

е) ; ж) .

2. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции . Найти эту функцию с помощью криволинейного интеграла II рода.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;
д) ;

е) .

 

Основные приложения криволинейного

Интеграла II рода

 

Площадь плоской фигуры

Из теоремы 2.2 следует, что если в формуле Остроградского-Грина (2.19) подобрать функции и так, чтобы , то, как известно, двойной интеграл в формуле (2.19) будет определять площадь области , т. е. можно получить бесконечно много формул вида , где – площадь области . В частности, можно положить и или и . В обоих случаях получим:

и . (2.30)

Складывая почленно эти равенства, будем иметь:

. (2.31)

Таким образом, площадь плоской области , расположенной в плоскости и ограниченной замкнутой кривой , можно найти с помощью криволинейного интеграла II рода по формуле (2.31), при этом обход кривой выполняется в положительном направлении (правило, п. 2.3).

Замечания

1. Подынтегральное выражение в формуле (2.31) легко запомнить, если его записать в виде определителя 2-го порядка .

2. Формула (2.31) наиболее удобна и часто используется при решении задач.

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой (рис. 2.8).

w Решение. Перейдем к параметрическим уравнениям данной кривой, положив . Подставив в исходное уравнение кривой, получим , т. е , тогда . Петля замыкается в точке с абсциссой , откуда находим . Искомую площадь определим по формуле (2.30), где рассуждения проведем, используя формулу (2.9). Так как и ,

то получим:

.

Рис. 2.8

 

Ответ: кв. ед. t

Работа переменной силы.

Как отмечалось ранее (п. 2.2), переменная сила на криволинейном участке производит работу, которая находится по формуле (2.5):

.

Если сила задана по пространственной кривой , то работа вычисляется по формуле (2.6):

.

Пример 8. Вычислить работу силы вдоль дуги параболы , заключенной между точками и .

w Решение. По формуле (2.5) получим:

. Воспользуемся формулой (2.13):

.

Ответ: Дж. t

Самостоятельная работа

1. С помощью криволинейного интеграла II рода найти площадь фигур, ограниченных линиями:

а) первой аркой циклоиды и осью ;

б) астроидой

в) эллипсом ;

г) кардиоидой

д) лемнискатой Бернулли ;

е) и .

2. Вычислить работу силы , совершаемую по прямой от точки до точки .

3. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки по прямой от точки до точки .

4. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки вдоль контура квадрата, образованного прямыми , .

5. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки вдоль окружности по ходу часовой стрелки.

6. Вычислить работу силы вдоль отрезка прямой , если и .

3. Индивидуальные задания для контрольной

Работы

1. Вычислить работу силы при перемещении точки вдоль дуги линии :

1) , , расположенная во втором координатном углу, в направлении против часовой стрелки.

2) , в направлении против часовой стрелки.

3) , от точки до точки .

4) , в направлении против часовой стрелки.

5) , от точки до точки .

6) , в направлении против часовой стрелки.

7) , от точки до точки .

8) , в направлении против часовой стрелки.

9) , от точки до точки .

10) , , расположенная в первой координатной четверти, в направлении против часовой стрелки.

2. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции . Найти функцию .

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

 

Список литературы

 

1. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. – М.: АСТ: Астрель, 2006. – 991 с.

2. Каплан, И. А. Практические занятия по высшей математике. Ч. IV / И. А. Каплан. – Харьков: Из-во Гос. ун-та им. А. М. Горького, 1966. – 236 с.

3. Кратные и криволинейные интегралы: методич. указ. / Сост. В. А. Меркулов. – Волгоград: ВолгИСИ, 1992. – 46 с.

4. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К. Н. Лунгу [и др.]; под ред. С. Н. Федина. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 592 с.: ил. – (Высшее образование).

5. Меркулов, В. А. Курс высшей математики. Избранные разделы. Раздел 1: Аналитическая геометрия: учеб. пособие / В. А. Меркулов. – Волгоград, 2004. – 88 с.

6. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 2 / Д. Т. Письменный. – М.: Рольф, 2001. – 256 с.

7. Рябушко, А. П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3-х ч. Ч. III / А. П. Рябушко [и др.]. – Минск: Вышэйшая школа, 1991. – 288 с.

 

 

Приложения

Приложение 1