Волжский институт строительства и технологий

Волжский институт строительства и технологий

(филиал)

Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета

 

Кафедра высшей математики

ПРЯМОЛИНЕЙНО

О КРИВОЛИНЕЙНЫХ
ИНТЕГРАЛАХ

Методические указания для студентов

Очной и заочной форм обучения

по дисциплине «Высшая математика»

 

 

Волжский 2008

УДК 517.3

 

 

Прямолинейно о криволинейных интегралах: метод. указ. для студентов очной и заочной форм обучения по дисц. «Высшая математика» / ВИСТех (филиал) ВолгГАСУ; [Е. В. Абрамов, Е. Д. Илларионова]. – Волжский: ВИСТех (филиал) ВолгГАСУ, 2008. – 61 с.

 

Изложен основной теоретический материал, приведены примеры решения задач и задания для самостоятельной работы по каждому разделу. Включены задания для контрольной работы. Материалы могут быть использованы при самостоятельной подготовке по разделу «Криволинейные интегралы».

Данные методические указания предназначены для студентов 1-го курса очной и заочной форм обучения по дисциплине «Высшая математика».

 

 

Ил. 53 Библиогр. 7 назв.

 

 

Криволинейный интеграл I рода

 

Основные понятия

Обобщением определенного интеграла на случай, когда областью интегрирования выступает не отрезок, а некоторая кривая, является криволинейный интеграл.

Пусть на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат задана непрерывная кривая (или ) длины , в точках которой определена некоторая непрерывная функция . Разобьем кривую точками , , , …, , на произвольных дуг с длинами соответственно () (рис. 1.1). Выберем на каждой дуге произвольно точку и составим сумму произведений

, (1.1)

которая называется интегральной суммой для функции по кривой . Пусть – наибольшая из длин дуг деления. Если при (т. е. при ) существует конечный предел интегральных сумм вида (1.1), не зависящий ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек на них, то этот предел называют криволинейным интегралом I рода от функции по длине кривой (или ) и обозначают (или ), где – дифференциал дуги кривой .

Рис. 1.1

 

Таким образом, по определению:

. (1.2)

Аналогично определяется криволинейный интеграл I рода от функции трех переменных по пространственной кривой :

. (1.3)

Если кривая интегрирования является замкнутой кривой, то криволинейный интеграл по этой кривой обозначается (или ).

Теорема 1.1. (существования криволинейного интеграла I рода). Если функция (или ) непрерывна в каждой точке гладкой^[1] кривой, то криволинейный интеграл I рода вида (1.2) (или (1.3)) существует.

 

Геометрический и физический смысл криволинейного

Интеграла I рода

 

Рассмотрим две задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла I рода по плоской кривой.

Площадь цилиндрической поверхности

Пусть в координатной плоскости задана гладкая кривая , на которой определена непрерывная функция . Тогда можно построить цилиндрическую поверхность: направляющей цилиндрической поверхности служит данная кривая , лежащая в плоскости , а образующая параллельна оси и цилиндрическая поверхность заключена между кривой и поверхностью (рис. 1.2). Площадь такой цилиндрической поверхности находится по формуле:

. (1.4)

В этом состоит геометрический смысл криволинейного интеграла I рода.

Рис. 1.2

 

Масса материальной кривой (цепь, провод, трос, канат и т. д.).

Пусть дана материальная кривая , имеющая в каждой точке плотность . Разобьем ее на элементарных дуг с длинами соответственно (). Пусть – произвольная точка дуги . Считая приближенно участок дуги однородным, т. е. плотность в каждой точке дуги такая же, как и в точке , найдем приближенное значение массы дуги : . Суммируя, находим приближенное значение массы всей кривой :

. (1.5)

Если кривая гладкая, а плотность задана непрерывной функцией в каждой точке кривой , то предел суммы (1.5) при условии, что (т. е. ) существует и его примем за массу кривой , т. е. , или, согласно формуле (1.2), получим:

. (1.6)

Таким образом, криволинейный интеграл I рода по кривой представляет собой массу материальной кривой , имеющей плотность , в чем и состоит механический смысл криволинейного интеграла I рода по кривой .

Замечание. Аналогичные рассуждения и формулы справедливы и для пространственной кривой интегрирования.

 

Интеграла I рода

Криволинейный интеграл I рода имеет разнообразные приложения в математике и физике. Рассмотрим основные из них без доказательств.

Длина кривой

Если повторить рассуждения п. 1.1 и в интеграле (1.2) положить всюду на кривой , то непосредственно из его определения получим значение длины этой кривой:

, (1.13)

которое справедливо при любом способе задания кривой.

При решении задач при конкретном способе задания кривой следует использовать формулы (1.7), (1.9), (1.12) при или (1.8), (1.10) при .

Пример 5. Найти длину дуги от до .

w Решение. Длину дуги вычислим по формуле (1.13): . Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой (1.12), где : . Так как , то .

Получим:

.

Ответ: ед. длины. t

Площадь цилиндрической поверхности

Как уже отмечалось (п. 1.2), площадь цилиндрической поверхности с направляющей , лежащей в плоскости и образующей, параллельной оси (рис. 1.2) вычисляется по формуле (1.4):

.

Пример 6. Вычислить площадь части цилиндрической поверхности , заключенной между плоскостью и поверхностью (рис. 1.4).

w Решение. Искомая площадь части цилиндрической поверхности по формуле (1.13) выражается интегралом , где направляющая – окружность в плоскости (). Уравнение окружности запишем в параметрическом виде: где . Воспользуемся формулой (1.7). Подынтегральная функция примет вид: . Так как , а , то

. Согласно формуле (1.7) имеем:

.

Ответ: кв. ед. t

 

 

Рис. 1.4

 

Замечания

1. Если цилиндрическая поверхность целиком лежит ниже координатной плоскости , то в формуле (1.4) интеграл берется со знаком минус.

2. Если цилиндрическая поверхность располагается так, что часть ее лежит выше плоскости , а часть – ниже , то цилиндрическую поверхность разбивают на части, каждая из которых целиком лежит выше плоскости или ниже ее и затем к каждой из полученных частей применяют формулу (1.4), помня о замечании 1.

Масса кривой

Как уже отмечалось (п. 1.2), масса материальной плоской кривой определяется по формуле (1.6):

,

где – плотность кривой в точке .

Если кривая задана в пространстве, то

, (1.14)

где – плотность кривой в точке .

В случае, когда кривая интегрирования однородна, то ее плотность (или ).

Пример 7. Вычислить массу материальной дуги , , плотность которой .

w Решение. Согласно формуле (1.6) получим: . Для решения данного криволинейного интеграла I рода воспользуемся формулой (1.9). Для этого в подынтегральной функции заменим на . Так как , то . Подставляя полученные значения, получим: .

Ответ: ед. массы. t

Пример 8. Вычислить массу дуги кривой, заданной уравнениями , если плотность в каждой ее точке равна .

w Решение. Согласно формуле (1.14) искомая масса выражается интегралом: . Для его вычисления воспользуемся формулой (1.8).

.

Ответ: ед. массы. t

Статические моменты кривой

Статическим моментом относительно оси материальной точки , лежащей в плоскости и имеющей массу m, называется произведение .

Аналогично определяется статический момент относительно оси : .

Статические моменты системы материальных точек определяются как суммы соответствующих статических моментов точек этой системы.

Статические моменты точки и системы точек относительно координатных плоскостей , и в пространстве определяются аналогично статическим моментам точки и системы точек относительно координатных осей и на плоскости.

Если масса распределена непрерывно вдоль материальной плоской кривой с плотностью в каждой точке этой кривой, то статические моменты и плоской кривой относительно координатных осей и определяются соответственно по формулам:

и . (1.15)

Для пространственной кривой имеют место аналогичные формулы вычисления статических моментов относительно координатных плоскостей , и соответственно:

,

и . (1.16)

Если материальная кривая однородна, то ее плотность (или ).

Пример 9. Вычислить статические моменты относительно координатных осей прямолинейного отрезка , соединяющего точки и (). Плотность в каждой точке отрезка равна произведению координат этой точки.

w Решение. Так как , то по формулам (1.15) имеем: и . Понятно, что уравнение отрезка , поэтому воспользуемся формулой (1.9).

Определим статический момент относительно оси . Подынтегральная функция примет вид , а . Получим: .

Легко видеть, что .

Ответ: куб. ед. t

Координаты центра тяжести кривой

Центром тяжести плоской кривой называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой относительно той же оси.

Координаты центра тяжести пространственной кривой определяются аналогично центру тяжести плоской кривой.

Координаты центра тяжести материальной плоской кривой вычисляются по формулам:

и , (1.17)

где , – статические моменты плоской кривой относительно координатных осей, вычисляемые по формулам (1.15) соответственно, а – масса кривой, определяемая по формуле (1.6).

Если кривая интегрирования является однородной, то, как уже отмечалось, в формулах (1.15) и (1.6) ее плотность и при подстановке в числитель и знаменатель формулы (1.17) эту величину можно сократить. Поэтому в случае однородной кривой в формулах (1.17) плотность полагают .

Для пространственной кривой формулы нахождения координат центра тяжести имеют вид:

, и , (1.18)

где , , – статические моменты пространственной кривой относительно координатных плоскостей, вычисляемые по формулам (1.16) соответственно, а – масса кривой, определяемая по формуле (1.14).

 

Если пространственная кривая однородна, то также полагают .

Пример 10. Определить центр тяжести однородной дуги астроиды лежащей в первой четверти ().

w Решение. Пусть . Вычислим массу кривой по формуле (1.6): .

Определим по соответствующей формуле (1.15) статический момент относительно оси :

.

Таким образом, по соответствующей формуле (1.17) получаем:

.

Аналогично рассуждая, найдем статический момент , используя

соответствующую формулу (1.15):

. Следовательно, по соответствующей формуле (1.17): .

Ответ: . t

Моменты инерции кривой

Моментом инерции материальной точки массы относительно оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки до оси, т. е. .

Момент инерции материальной точки относительно оси и плоскости в пространстве определяется аналогично моменту инерции материальной точки массы относительно оси на плоскости.

Для материальной пространственной кривой АВ, имеющей плотность , моменты инерции относительно координатных осей , и , начала координат и координатных плоскостей , и вычисляются соответственно по формулам:

, , , ,

,

и . (1.19)

Заметим, что моменты инерции в пространстве связаны следующими соотношениями:

, . (1.20)

Если кривая лежит в плоскости , то рассматриваются моменты инерции только относительно координатных осей , , и начала координат (при условии, что ):

,

и . (1.21)

Если материальная кривая однородна, то ее плотность (или для пространственной кривой ).

Пример 11. Найти моменты инерции относительно осей координат отрезка однородной прямой , лежащего между этими осями (рис. 1.5).

Рис. 1.5

 

w Решение. По условию , где . По соответствующим формулам (1.21) имеем: и . По рисунку видно, что .

Вычислим первый интеграл. Для этого, согласно формуле (1.9), преобразуем подынтегральную функцию: и найдем дифференциал дуги кривой: . Получим:

.

Рассуждая аналогично для второго интеграла, получим:

.

Ответ: , t

 

Самостоятельная работа

1. Вычислить длину дуги кривой ограниченной точками пересечения ее с осями координат ().

2. Вычислить длину дуги цепной линии , .

3. Вычислить длину кардиоиды .

4. Найти длину первого витка винтовой линии .

5. Вычислить площадь боковой поверхности цилиндра , заключенной внутри сферы .

6. Вычислить площадь цилиндрической поверхности с направляющей где , ограниченной снизу плоскостью , а сверху поверхностью .

7. Вычислить площадь цилиндрической поверхности с направляющей – прямолинейный отрезок, соединяющий точки и , ограниченной снизу плоскостью , а сверху поверхностью .

8. Вычислить площадь боковой поверхности параболического цилиндра , ограниченной плоскостями , , и .

9. Найти массу четверти однородной окружности , лежащей в первом квадранте.

10. Вычислить массу дуги кривой , если плотность дуги в каждой точке равна квадрату абсциссы этой точки и .

11. Вычислить массу дуги кривой (), если плотность в каждой ее точке пропорциональна расстоянию до полюса.

12. Вычислить массу дуги конической винтовой линии , а плотность описывается функцией .

13. Вычислить статические моменты относительно координатных осей однородной дуги астроиды расположенной в первом квадранте.

14. Найти статический момент относительно оси однородной дуги цепной линии ().

15. Найти статический момент относительно оси однородной дуги витка лемнискаты Бернулли от до .

16. Найти декартовые координаты центра масс первой полуарки циклоиды где .

17. Найти координаты центра тяжести дуги однородной кривой , .

18. Найти декартовые координаты центра тяжести дуги однородной кривой , если .

19. Вычислить декартовые координаты центра масс дуги первого витка винтовой линии если плотность в каждой ее точке пропорциональна аппликате точки.

20. Вычислить моменты инерции относительно координатных осей дуги четверти однородной окружности лежащей в первом квадранте.

21. Вычислить момент инерции относительно оси дуги однородной полукубической параболы , заключенной между точками с

абсциссами и .

22. Найти момент инерции относительно оси первого витка однородной винтовой линии где .

 

Основные понятия

Криволинейный интеграл II рода определяется почти так же, как и криволинейный интеграл I рода. Пусть в плоскости задана непрерывная кривая (или ) и непрерывная функция , определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую точками , , , …, , в направлении от точки к точке на «элементарных» дуг с длинами соответственно (). На каждой «элементарной» дуге выберем произвольно точку и составим сумму произведений вида (2.1), где – проекция дуги на ось (рис. 2.1). Сумму вида (2.1) называют интегральной суммой для функции по переменной . Таких сумм можно составить бесчисленное множество. Если при интегральные суммы вида (2.1) имеют конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек , то его называют криволинейным интегралом II рода по координате от функции по кривой и обозначают (или ).

Таким образом, по определению, .

Аналогично вводится криволинейный интеграл II рода по координате от функции по кривой :

,

где – проекция дуги на ось .

 

Криволинейный интеграл II рода общего вида по кривой определяется равенством:

. (2.2)

Криволинейный интеграл II рода общего вида

(2.3)

по пространственной кривой определяется аналогично.

 

Рис.2.1

 

Теорема 2.1 (существование криволинейного интеграла II рода). Если кривая гладкая, а функции , (или в пространстве , , ) непрерывны по кривой , то криволинейный интеграл II рода существует.

 

Интеграла II рода

Рассмотрим основные свойства криволинейного интеграла II рода без доказательств, которые обобщают соответствующие свойства определенного интеграла. Пусть функции и непрерывны на кривой , тогда:

1. При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода меняет свой знак на противоположный, т. е. .

2. ,

где .