Вычисление криволинейного интеграла I рода

Вычисление криволинейного интеграла I рода зависит от способа задания кривой (явное, параметрическое или полярное) и сводится к вычислению определенного интеграла.

Параметрическое представление кривой интегрирования .

Если кривая задана на плоскости параметрическими уравнениями где () и , – непрерывно дифференцируемые функции параметра на отрезке , причем точке соответствует , а точке – значение , тогда криволинейный интеграл I рода вычисляется по правилу:

. (1.7)

На практике использование формулы (1.7) осуществляется следующим образом: в подынтегральной функции переменные и меняются на переменную по правилам и соответственно, а дифференциал дуги кривой на и расставляются пределы интегрирования и по переменной .

Пример 1. Вычислить , если – первая арка циклоиды ().

w Решение. Воспользуемся формулой (1.7). Для этого в подынтегральной функции заменим на : . Так как , а , то . Чтобы построить первую арку циклоиды, параметр должен меняться от 0 до – это и есть пределы интегрирования в определенном интеграле.

Используя проведенные рассуждения, получим:

Ответ: . t

При задании кривой в пространстве параметрическими уравнениями где () и , , – непрерывно дифференцируемые функции параметра на отрезке , причем точке соответствует , а точке – значение , тогда криволинейный интеграл I рода по пространственной кривой вычисляется по правилу:

. (1.8)

Пример 2. Вычислить , где – первый виток винтовой линии .

w Решение. Воспользуемся формулой (1.8). Преобразуем подынтегральную функцию: . Вычислим производные функций: , , и найдем дифференциал дуги:

. Таким образом, получим: .

Ответ: . t

Замечание. При вычислении интегралов от тригонометрических функций полезно помнить несколько приемов, которые позволяют значительно облегчить решение задачи.

Например, в выражении можно избавиться от корня следующим образом. Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени для косинуса: , тогда . Таким образом, . Аналогично поступают с выражением , используя тригонометрическую формулу понижения степени для синуса: .

Чтобы избавится от квадратного корня в выражении проводят следующие преобразования:

Аналогичные рассуждения проводят для выражения .

Явное задание кривой интегрирования .

Пусть кривая на плоскости в декартовых координатах задана явно уравнением , где () и – непрерывно дифференцируемая функция на отрезке , причем и – абсциссы точек и соответственно, тогда для вычисления криволинейного интеграла I рода используется формула:

. (1.9)

Если уравнения задают пространственную кривую , где () и , – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке , причем и – абсциссы точек и соответственно, то

. (1.10)

Заметим, что формула (1.9) является частным случаем формулы (1.7), где в качестве параметра берется переменная , а формула (1.10) вытекает из (1.8) по тем же соображениям.

На практике использование формулы (1.9) или (1.10) аналогично использованию формул (1.7) или (1.8) соответственно.

Пример 3. Вычислить , где – отрезок прямой , заключенный между точками и .

w Решение. В подынтегральной функции заменим на : . Так как , то . Так как абсцисса точки начала отрезка равна 0, то , а абсцисса точки конца отрезка прямой равна 1, поэтому . Таким образом, по формуле (1.9) вычисление данного криволинейного интеграла сведено к решению определенного интеграла. Получим:

Ответ: . t

Полярное задание кривой интегрирования

Напомним, что полярная система координат на плоскости задается точкой , которая называется полюсом; лучом , который называется полярной осью и изображается горизонтально, а положительное направление определяется слева направо; единичным масштабом. Положение произвольной точки в полярных координатах определяется парой чисел: – расстояние от полюса до нее и – угол, образованный отрезком с полярной осью (положительное направление – против часовой стрелки) (рис. 1.3).

Рис. 1.3

 

Если декартовую прямоугольную систему координат совместить с полярной системой координат так, что бы полюс попал в начало координат, полярная ось совпала с осью абсцисс (включая положительные направления) и выбрать одинаковый масштаб, то получим, что декартовые и полярные координаты связана между собой по правилам: , (1.11). Легко видеть, что .

Если кривая задана в полярных координатах уравнением , где () и – непрерывно дифференцируемая функция на отрезке , причем значение угла соответствует началу кривой , а – концу кривой, тогда криволинейный интеграл I рода равен:

. (1.12)

Формула (1.12) получается из формулы (1.7), если в качестве параметра выбрать угол .

На практике проводят рассуждения, аналогичные вышеуказанным: в подынтегральной функции переменные и заменяют на и по формулам (1.11), а на и расставляют пределы интегрирования и по переменной .

Пример 4. Вычислить , где – дуга кардиоиды , .

w Решение. Выполним знакомые рассуждения. Сначала преобразуем подынтегральную функцию:

.

Так как , то . Пределы интегрирования в определенном интеграле известны по условию.

Таким образом, по формуле (1.12) получим:

.

Ответ: . t

Самостоятельная работа

1. Вычислить , где – окружность

2. Вычислить , где – первая арка циклоиды

3. Вычислить , – дуга астроиды заключенная между точками и .

4. Переходя к параметрическому заданию кривой , вычислить , где – окружность .

5. Вычислить , если – развертка окружности ().

6. Вычислить , если – дуга линии .

7. Вычислить , где – первый виток конической винтовой линии .

8. Вычислить , где – отрезок прямой , заключенный между точками и .

9. Вычислить , где – отрезок прямой между точками и .

10. Вычислить , если – часть окружности , лежащая в первом квадранте.

11. Вычислить , где – дуга параболы между точками и .

12. Вычислить , если – контур прямоугольника с вершинами в точках , , и .

13. Вычислить , где – первая четверть окружности .

14. Вычислить , где – лепесток лемнискаты , расположенной в первой координатной четверти.

15. Вычислить , если – дуга логарифмической спирали от до .

16. Вычислить , где – дуга кардиоиды , .

17. Вычислить , где – часть дуги спирали Архимеда , заключенная внутри круга радиуса с центром в полюсе.