Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла.

Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Двойной интеграл от неотрицательной функции () численно равен объему тела, которое сверху ограничено поверхностью , снизу – замкнутой областью плоскости , с боков – цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси , а направляющей служит граница , т.е.

.

 

Физический смысл двойного интеграла.

Двойной интеграл от функции численно равен массе плоской пластины, если подынтегральная функция считать плотностью этой пластины в точке , т.е.

Основные свойства двойного интеграла

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла функции одной переменной на отрезке. Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла (без доказательства), считая подынтегральные функции интегрируемыми.

1. , где .

 

2. .

 

3. Если область разбить линией на две области и такие, что , а пересечение , где - линия, разделяющая и (см. рисунок), то

 

 

4. Если в области имеет место неравенство , то и

.

5. Если в области функции и удовлетворяют неравенству , то и

.

 

6. Если , , то , где - площадь области интегрирования .

 

7. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то

,

где и - соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области .

 

8. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то в этой области существует такая точка , что

.

Величину называют средним значением функции в области .

3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Вычисление двойного интеграла

В декартовых координатах

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где функция непрерывна в области . Тогда, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью . Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее было показано, что , где - площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси , а и - уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

направлении оси : любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в дух точках.

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси : , где .

В сечении получаем криволинейную трапецию , ограниченную линиями , где , и . Площадь этой трапеции находим с помощью определенного интеграла:

.

Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

.

С другой стороны, объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции по области . Следовательно,

.

Таким образом, для вычисления двойного интеграла функции по области используется следующая формула

(1.2)

 

Правую часть (1.2) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции по области . Интеграл называется внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая постоянным, затем берем внешний интеграл, т.е. результат первого интегрирования интегрируем по в пределах от до .

Если область ограничена прямыми и (), кривыми и , причем для всех , т.е. область - правильная (стандартная) в направлении оси , то, рассекая тело плоскостью , аналогично получаем

В полярных координатах

При вычислении определенного интеграла важную роль играет правило замены переменной, согласно которому при соблюдении соответствующих условий получаем

.

Обычно функция монотонна. Она осуществляет взаимно однозначное соответствие между точками промежутка изменения переменной и точками промежутка изменения переменной . Делая замену по формуле , необходимо заменить на и вместо старых пределов и по переменной взять им соответствующие новые пределы и по переменной .

Для упрощенного вычисления двойного интеграла также применяется метод подстановки. Но правило замены переменной в двойном интеграле значительно сложнее, чем в определенном интеграле. Приведем только окончательную формулу замены переменных в двойном интеграле и разъясним ее на примере преобразования к полярным координатам.

 

Определим преобразование независимых переменных и как

и .

Если функции и имеют в некоторой области плоскости непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

,

а функция непрерывна в области , то справедлива формула замены переменной в двойном интеграле:

. (1.4)

Сами новые переменные и называются криволинейными координатами. Различные системы криволинейных координат играют важную роль в математике и ее приложениях.

Функциональный определитель называется определителем Якоби или якобианом (Г. Якоби (1804 – 1851) – немецкий математик).

Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат и полярными координатами и .

В качестве переменных и возьмем полярные координаты и . Они связаны с декартовыми координатами формулами , .

Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется как

 

Формула замены переменных (1.4) принимает вид:

, (1.5)

где - область в полярной системе координат, соответствующая области в декартовой системе координат.

5. Приложения двойного интеграла в геометрии и физике.

Объем такого цилиндра численно равен площади основания , т.е. площади области интегрирования . Тогда для вычисления площади плоской фигуры получаем формулы:

1. для вычисления в декартовой системе координат: ;

2. для вычисления в полярной системе координат: .

Масса плоской фигуры

 

Согласно физическому смыслу двойного интеграла, масса плоской пластины находится по формуле:

,

где - плотность этой пластины.

 

Координаты центра масс

 

Координаты плоской фигуры вычисляются по следующим формулам:

;

.

 

В сферических координатах

В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно производить, перейдя к сферическим координатам.

Сферическими координатами точки пространства называется тройка чисел , где - длина радиус-вектора точки , - угол, образованный проекцией радиус-вектора на плоскость и осью , - угол отклонения радиус-вектора от оси (см. рис.).

Возьмем в качестве сферические координаты и вычислим якобиан преобразования:

.

Формула замены переменных (1.9) принимает вид:

 

. (1.11)

Переходить к сферическим координатам удобно, когда область интегрирования есть шар (равнение его границы в сферических координатах имеет вид ) или его часть, а также, если подынтегральная функция имеет вид .

Объем тела

 

Объем тела выражается следующими формулами:

1. - в декартовых координатах;

2. - в цилиндрических;

3. - в сферических координатах;

 

Масса тела

 

Масса тела при заданной объемной плотности распределения массы в точке вычисляется с помощью тройного интеграла по следующей формуле

 

Статистические моменты

 

Статистические моменты , , тела относительно координатных плоскостей , , вычисляются по формулам:

;

.

 

Координаты центра масс

 

Координаты центра тяжести тела находится по формулам:

, , .

 

Моменты инерции тела

 

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам:

;

.

Моменты инерции тела относительно осей координат:

;

.

Основные свойства КРИ-I

 

1. , т.е. криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования.

2. , где .

3. .

4. , если путь интегрирования разбить на части и такие, что , и имеют единственную общую точку.

5. Если для точек кривой выполняется неравенство , то

.

6. Если , то , где - длина кривой (геометрический смысл криволинейного интеграла первого рода).

7. (Теорема о среднем) Если функция непрерывная на кривой , то на этой кривой найдется точка , что .

Явное представление кривой

Если кривая лежит в плоскости и задана уравнением , производная непрерывна на , , то

.

Площадь плоской фигуры

Площадь плоской фигуры, расположенной в плоскости и ограниченной замкнутой линией , можно найти по формуле

,

при этом кривая , делает обход против часовой стрелки.

Работа переменной силы

Переменная сила на криволинейном участке производит работу, которая находится по формуле

Градиент

В каждой точке области , в которой задана скалярная функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных в выбранной точке . Назовем этот вектор градиентом функции и обозначим его символами или (набла-оператор, записываемый в виде «вектора» с компонентами ).

Градиентом функции в точке называется вектор, проекции которого служат значения частных производных этой функции, т.е.

. (4.3)

Подчеркнем, что проекции градиента зависят от выбора точки и изменяются с изменением координат этой точки. Таким образом, каждой точке скалярного поля, определяемого функцией , соответствует определенный вектор – градиент этой функции. Отметим, что градиент линейной функции есть постоянный вектор .

Используя определение градиента, формуле для производной по направлению можно придать следующий вид:

,которая читается так: производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления ().Учитывая то, что скалярное произведение равно модулю одного вектора умноженному на проекцию другого вектора на направление первого, то можно еще сказать, что: производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, т.е.

,

где j - угол между и направлением .

Формула Стокса

Рассмотрим в пространстве кусок двухсторонней кусочно-гладкой поверхности , край которой образуется кусочно-гладкой кривой . Выберем положительную сторону поверхности (из конца единичного вектора нормали обход границы представляется против часовой стрелки). Для циркуляции векторного поля вдоль контура границы имеет место формула Стокса: , где - компоненты векторного поля, - направляющие косинусы вектора нормали.

Эту же формулу Стокса можно записать и векторной форме:

. (4.15)

Формула (4.15) означает следующее: циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность , краем которой является контур . Направление обхода по контуру и сторона поверхности одновременно или положительные, или отрицательные.

Формула Стокса

Рассмотрим в пространстве кусок двухсторонней кусочно-гладкой поверхности , край которой образуется кусочно-гладкой кривой . Выберем положительную сторону поверхности (из конца единичного вектора нормали обход границы представляется против часовой стрелки). Для циркуляции векторного поля вдоль контура границы имеет место формула Стокса: , где - компоненты векторного поля, - направляющие косинусы вектора нормали.

Эту же формулу Стокса можно записать и векторной форме:

. (4.15)

Формула (4.15) означает следующее: циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность , краем которой является контур . Направление обхода по контуру и сторона поверхности одновременно или положительные, или отрицательные.

Признак Даламбера

В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера (1717 – 1783, французский математик) позволяет часто решать вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самими рядами.

Теорема 1.5 (признак Даламбера). Пусть дан ряд (1.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел

.

Тогда:

1) при ряд сходится;

2) при ряд расходится.

При признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. В этом случае сходимость ряда исследуется с помощью других признаков.

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения вида или .

Вычисление значений функции

Пусть дан степенной ряд функции . Задача вычисления значения этой функции заключается в отыскании суммы ряда при заданном значении аргумента. Ограничиваясь определенным числом членов ряда, находим значение функции с точностью, которую можно устанавливать путем оценивания остатка числового ряда либо остаточного члена формул Тейлора или Маклорена.

Вычисление интегралов

Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри интервалов сходимости, то с помощью разложений функций в степенные ряды можно находить неопределенные интегралы в виде степенных рядов и приближенно вычислять соответствующие определенные интегралы.

Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Двойной интеграл от неотрицательной функции () численно равен объему тела, которое сверху ограничено поверхностью , снизу – замкнутой областью плоскости , с боков – цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси , а направляющей служит граница , т.е.

.

 

Физический смысл двойного интеграла.

Двойной интеграл от функции численно равен массе плоской пластины, если подынтегральная функция считать плотностью этой пластины в точке , т.е.

Основные свойства двойного интеграла

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла функции одной переменной на отрезке. Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла (без доказательства), считая подынтегральные функции интегрируемыми.

1. , где .

 

2. .

 

3. Если область разбить линией на две области и такие, что , а пересечение , где - линия, разделяющая и (см. рисунок), то

 

 

4. Если в области имеет место неравенство , то и

.

5. Если в области функции и удовлетворяют неравенству , то и

.

 

6. Если , , то , где - площадь области интегрирования .

 

7. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то

,

где и - соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области .

 

8. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то в этой области существует такая точка , что

.

Величину называют средним значением функции в области .

3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.