Свойства арифметического корня

Если a и b — неотрицательные числа, n и k — натуральные числа, отличные от единицы, m — целое число, то имеют место следующие соотношения:

= ;

= · ;

= , b ≠ 0;

= ;

· = ;

: = .

Степень с дробным показателем

Если a — положительное число, m — целое число, n — натуральное число и n ≥ 2, то = = .

Формулы сокращенного умножения

Квадрат суммы: Квадрат разности: Кубсуммы: Кубразности: Разность квадратов: Суммакубов: Разность кубов:

(a + b)² = a ² + 2 ab + b ²; (a – b)² = a ² − 2 ab + b ²; (a + b)³ = a ³ + 3 a ² b + 3 ab ² + b ³; (a + b)³ = a ³ − 3 a ² b + 3 ab ² − b ³; a ² − b ² = (a – b)(a + b); a ³ + b ³= (a + b)(a ² − ab + b ²); a ³ − b ³ = (а – b)(a ² + ab + b ²).

 

Дробно−рациональные уравнения

Свойства рациональных дробей:

 

 

Логарифмические уравнения

Логарифмы

Логарифмом числа b по основанию а (logₐb) называют такое число с, что b = aᶜ, т.е. записи logₐb = c и b = aᶜ равносильны. Логарифм имеет смысл, если a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Если немного перефразировать — логарифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).

Специальные обозначения:

Натуральный логарифм ln a — логарифм по основанию e, где e — число Эйлера.

Десятичный логарифм lg a — логарифм по основанию 10.

Свойства логарифмов:

1. = b — основное логарифмическое тождество.

2. logₐ a = 1, a > logₐ a = 1, a > 0, a ≠ 1.

3. logₐ1 = 0, a > 0, a ≠ 1.

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.

4. log a (bc) = log ab + log ac — логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

5. log = log ab − log ac — логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

6. log abp = p · log ab — логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

7. = · log ab.

8. log ab = .

9. log ab = — переход к новому основанию.

10. = · log ab.

11. log ax 2 k = 2 k log a ǀ x ǀ (a ≠ 1, a > 0, k ϵ R, x ≠ 0).

Основное логарифмическое тождество

Показательное уравнение aˣ = b, a > 0, a ≠ 1 не имеет решений при b ≤ 0 и имеет единственный корень в случае, когда b > 0. Этот корень называют логарифмом числа b по основанию a и обозначают log ab, то есть = b.

Выражение = b с учетом того, что a > 0, a ≠ 1, b > 0называется — основнымлогарифмическим тождеством.

Логарифмическая функция

Функцию, которую можно записать формулой y = logₐ x, называют логарифмическойфункцией. Здесь x > 0 — аргумент, a > 0, a ≠ 1 — основание логарифма.

Свойства логарифмической функции:

1. Область определения: D (y); x є (0; +∞);

2. Область значений: E (y): y є (−∞; +∞);

3. Функция ни четная, ни нечетная;

4. Нули функции: x = 1;

5. График функции возрастает на (0; +∞) при a > 1; убывает на (0; +∞) при 0 < a < 1; точек экстремума нет;

6. График логарифмической функции:

Логарифмические уравнения

Логарифмическое уравнение — это такое уравнение, в котором неизвестная стоит под знаком логарифма.

При решении логарифмических уравнений часто приходится логарифмировать или потенцировать обе части уравнения, что не всегда может привести к равносильным уравнениям.

Логарифмировать алгебраическое выражение — значит выразить его логарифм через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение.

Пример: прологарифмировать выражение x = 3 bc.

Решение. В левой и правой части допишем логарифм по основанию a: log ax = log a (3 bc).

По свойствам логарифмов логарифм произведения, стоящий в правой части, представим как сумму логарифмов от каждого из сомножителей, то есть: logₐ x = logₐ3 + logₐ b + logₐ c.

Определение: если по данному результату логарифмирования находят выражение, от которого получен этот результат, то такая операция называется потенцированием.

Пример: пропотенцировать выражение: log ax = 5log ac − log ad.

Решение. Используя свойства логарифмов, преобразуем правую часть данного выражения:

5log ac – log ac 5 – log ad = log a ;

5log ac – log ad = log ac 5 − log ad = log a ;

log ax = log a ;

x = .

1. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение logₐ x = b причем основание логарифма a > 0, a ≠ 1, а под логарифмическое выражение x > 0.

Для любого действительного b это уравнение имеет единственное решение x = ab.

Пример: решить уравнение: log5 x = 2.

Решение. Вначале находим область допустимых значений (ОДЗ): x > 0, тогда единственное решение уравнения x = 52 = 25.

Ответ:x = 25.

2. Логарифмическое уравнение вида log af (x) = b.

Здесь a > 0, a ≠ 1, — элементарная алгебраическая функция, причем, чтобы уравнение имело решение, должно выполняться неравенство f (x) > 0

Заменой f (x) = t данное уравнение приводится к простейшему логарифмическому уравнению logₐ t = b, решение которого приведено в пункте 1.

Пример: решить уравнение: log2(x 2 + 4) = 3.

Решение.

ОДЗ: x ² + 4 > 0 x є R.

Замена: x ² + 4 = t, получаем уравнение log2 t = 3, решение которого t = 2³ = 8.

Делаем обратную замену, получаем: x ² + 4 = 8 x ² − 4 = 0 (x – 2)(x + 2) x 1 = 2, x 2 = −2.

Ответ: x 1 = 2, x 2 = −2.

3. Логарифмическое уравнение вида log af (x) = log ag (x).

Здесь a — отличное от единицы положительное число; f (x) и g (x) — элементарные алгебраические функции.

Решение логарифмических уравнений такого типа сводится к решению уравнения f (x) = g (x).

Поэтому для решения рассматриваемого типа уравнений log ₐf (x) = log ₐg (x) достаточно найти все решения уравнения f (x) = g (x) и среди полученных выбрать те, которые относятся к ОДЗ уравнения log ₐf (x) = g (x) log ₐ. Если уравнение f (x) = g (x) решений не имеет, то их не имеет и исходное логарифмическое уравнение.

Пример: решить уравнение:ln(x + 1) = ln(2 x – 3).

Решение: Находим ОДЗ: (; +∞)

Решаем уравнение x + 1 = 2 x – 3: x = 4 є ОДЗ.

Итак, решением исходного логарифмического уравнения также является это значение.

Ответ: x = 4.

 

 

Отбор корней

Задача 1

а) Решите уравнение:sin x = 0,5.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [- π; 2 π ].

Решение:

а ) sin x = 0,5;

х= + 2 πn или x = 5· + 2 πk,n,k Z.

Корни уравнения: + 2 πn, 5 · + 2 πk,k Z.

б) Теперь будем искать корни, принадлежащие отрезку [- π; 2 π ].

Рассмотрим 3 способа отбора корней:

· Способ №1. С помощью двойного неравенства:

−π ≤ +2 πn ≤ 2 π;

−1 ≤ + 2 n ≤ 2;

− ≤ 2 n ≤ ;

− ≤ n ≤ .

Значит, n = 0, x = .

− π ≤ 5· + 2 πk ≤ 2 π;

−1 ≤ + 2 k ≤ 2;

− ≤ 2 k ≤ ;

− ≤ k ≤ .

Значит, k = 0, х = 5· .

Этот способ наиболее точный и если учащиеся владеют навыками решения двойного неравенства, то понятный и подходит совершенно всем и в любых случаях.

· Способ №2. С помощьюокружности:

a) На окружности найдем края отрезка: точки – π и 2 π.

б) Смотрим на точки — из каких серий решения попали в этот отрезок.

в) Выбираем эти точки.

Если данные отрезки бывают длиной больше 2 π, тогда можно потерять некоторые корни, поэтому рекомендуется: нарисовать вторую концентрическую окружность, будто соответствующую следующему периоду (это просто модель, которая помогает решить задачу). Этот способ хорошо дается тем, кто умеет определять на окружности точки и отсчитывать периоды.

· Способ №3. С помощьюграфика:

а) Чертим график у = sin x;

б) Выделяем отрезок — π; 2π;

в) Проводим прямую у = ;

г) Отмечаем точки с ординатой на искомом отрезке, получаем х = и 5· .

Способ очень наглядный и подойдет тем, кто не усвоил вышеизложенные два способа.

 

 

Показательная функция

a > 0, b > 0; a 0 = 1, 1 x = 1; = (k ϵ Z, n ϵ N); a − x = ; ax · ay = ax+y; = ax−y; (ax) y = axy; ax · bx = (ab) x; =

Функцию вида f (x) = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции f (x) = aˣ: