Сокращение и «расширение» дроби

Величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число.

Например:

= = ;

= = ;

= = ;

Такое преобразование дроби называется «расширением» дроби. Дробь получена расширением на 6 из дроби.

Величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и тоже число.

Например: = = ;

Такое преобразование называется сокращением дроби.

Проценты

Слово «процент» происходит от латинского «procento», что означает «с сотни».

Процент — это сотая часть числа, обозначается знаком %.

Всякое целое число (например 1) составляет 100%. Его сотая часть 1: 100 = 0,01. Следовательно, 1% от единицы составит 0,01.

Если в задаче величина в целом неизвестна, а известны только ее части, то она принимается за 100% или за 1 (единицу). Когда целое состоит из каких — то частей, то эти части составляют дроби, сумма которых равна целому (1). Пропорционально этим дробям часть целого можно взять и в процентах.

Если весь объем — 100%, то каждая часть (каждая дробь) составляет величину больше 0%, но меньше 100%, а сумма всех частей в процентах равна 100%. Процент какой — то величины — это часть (доля) этой же величины, поэтому, если 1 = 100%, то и каждая дробь (обыкновенная или десятичная) равна какому — то проценту от 1.

5% = 0,05 = ;

10% = 0,1 = ;

20% = 0,2 = ;

25% = 0,25 = ;

40% = 0,4 = ;

50% = 0,5 = ;

75% = 0,75 = ;

80% = 0,8 = .

Округление чисел

Пример: округлите до тысячных число 0,3442524.

Тысячные – это третий разряд после запятой, значит, нам надо смотреть на четвертый цифру:

0,344 2 524 – в данном случае это 2, поэтому округляем в меньшую сторону и получаем 0,344.

Напомним, что при цифрах 0,1,2,3,4 округляем в меньшую сторону. При цифрах 5,6,7,8,9 округляем в большую сторону. Таким образом у нас есть пять случаем и в округлении в меньшую и большую сторону.

 

 

Определение

Текстовые задачи ― это одни из самых нелюбимых заданий, особенно у учеников старших классов, потому что чем дальше, тем запутаннее становится условие, тем сложнее становится составить уравнение и верно решить задачу. Но, как и в любой теме в математике, чтобы уверенно решать сложные задачи, необходимо разобраться с самыми основными приемами.

Разберем эти задачи с самого начала. Текстовая задача состоит из условия, в котором описана некоторая ситуация, и вопроса, на который нужно дать ответ.

Пример: Коля наклеил на 5 листов по 2 наклейки. Сколько наклеек наклеил Коля?

Условие: Коля наклеил на 5 листов по 2 наклейки.

Вопрос: Сколько наклеек наклеил Коля?

Решение любой текстовой задачи можно разделить на несколько основных этапов:

· Работа с условием;

· Составление уравнения;

· Проверка ответа;

· Для одного уравнения может быть составлено множество различных условий.

Пример:

Уравнение: 2 + х = 5.

Условие 1: Маша и Петя вместе нашли 5 грибов. Маша нашла 2. Сколько грибов нашел Петя?

Условие 2: Букет состоит из ромашек и колокольчиков. Всего в букете 5 цветков, из них 2 ромашки. Сколько колокольчиков в букете?

Условие 3: На елке было 5 игрушек. Две из них упали и разбились. Сколько игрушек осталось на елке?

Для облегчения работы с условием полезно использовать иллюстрацию или моделирование. Это может быть краткая запись условия математически или словесно. Также это может быть дополнительный рисунок или таблица.

Пример: Петя выше Коли, Сережа ниже Коли. Кто выше?

Иллюстрация:

Из рисунка сразу понятен ответ: Петя выше всех.

Для составления уравнения по условию задачи используются различные приемы, в зависимости от данной в условии зависимости величин.

 

 

Алгебраическая зависимость

Такая зависимость выражается в словах: выше/ниже, больше/меньше, дороже/дешевле, длиннее/короче и т. д.

При составлении уравнения особое значение играют используемые предлоги: «в» и «на».

Пример: Петя выше Коли на 20 см, Сережа ниже Коли на 10 см. На сколько см Петя выше Сережи?

Решение: Пусть П ― рост Пети, К ― рост Коли, С ― рост Сережи.

Кстати, обратите внимание на этот приём ― выбирать «говорящие» переменные, а не безликие иксы и игреки, чтобы не запутаться при работе с уравнением.

Выразим рост мальчиков.

Петя выше Коли на 20 см: П – 20 = К.

Сережа ниже Коли на 10 см: К = С + 10.

Подставим в первое уравнение рост Коли: П – 20 = С + 10.

Нам нужно найти, на сколько см Петя выше Сережи: П – С.

П – 20 = С + 10;

П – С = 20 + 10;

П – С = 30.

Получаем, что Петя выше Сережи на 30 см.

Пример: На уроке труда ученики делали снежинки. Всего было сделано 12 снежинок. Маша сделала в два раза больше снежинок, чем Коля. Коля сделал на 4 снежинки меньше, чем Рома. Сколько снежинок сделала Маша?

Решение:

Пусть М ― количество снежинок, которое сделала Маша, К – снежинки Коли, Р ― снежинки Ромы.

Маша сделала в два раза больше снежинок, чем Коля: К = М/2.

Коля сделал на 4 снежинки меньше, чем Рома: Р = К + 4 = М/2 + 4.

Вместе ребята сделали 12 снежинок: М + К + Р = 12.

Подставим все выраженные через М значения: М + М/2 + М/2 + 4 = 12.

М = 4.

Маша сделала 4 снежинки.

 

 

Процентная зависимость

Процент ― это всегда доля какого-то числа.

100% ― все число;

50% ― половина;

25% ― четверть.

Чтобы найти 1%, необходимо поделить всё число на 100.

Пример:

Есть 100 яблок.

1% от всех яблок ― = 1 яблоко.

Есть 200 груш.

1% от всех груш ― = 2 груши.

Для работы с процентами используется пропорция, в которой в одном столбце записываются реальные значения, в другом ― соответствующие проценты.

Пример:

200 груш ― 100 %;

2 груши ― 1 %.

Прогрессия отражает зависимость величин. По-другому это можно записать в виде двух дробей: = .

Исходя из правил работы с дробями, получаем правила работы с пропорцией:

· Внутри одной дроби можно сокращать значения.

· Произведение накрест лежащих значений равно: 200 ∙ 1 = 2 ∙ 100.

Эту тему мы еще подробно пройдем на курсе.

Также текстовые задачи могут быть посвящены прогрессиям, производительности, темпу ― обо всем этом мы поговорим на нашем курсе. А сейчас приступайте к задачам для тренировки.

 

 

Трапеция

Трапеция ― это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны.

Элементы трапеции:

a и b ― основания трапеции, a || b;

h ― высота трапеции (расстояние между основаниями);

m ― средняя линия трапеции (отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции).

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: m = и параллельна им:

m || a и m || b.

Виды трапеций:

1) Прямоугольная ― трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне:

· боковая сторона является высотой.

2) Равнобедренная ― трапеция, у которой боковые стороны равны:

· углы при основаниях равны

· длины диагоналей равны

Свойства трапеции:

· Сумма внутренних углов трапеции (как и любого четырехугольника) равна 360°.

· Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

· В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

· Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция ― равнобедренная.

· Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Площадь трапеции:

S = ∙ h;

S = m ∙ h, где m ― средняя линия трапеции.

 

 

Треугольники