График показательной функции

Графиком показательной функции является экспонента:

Простейшие показательные уравнения

Показательными называются уравнения, содержащие переменную в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

Теорема 1. Показательное уравнение af (ˣ) = ag (ˣ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f (x) = g (x).

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида:

ax = b, где а > 0, а ≠ 1. Такое уравнение не имеет корней при b ≤ 0, а при b > 0 имеет единственный корень: x = log a b.

Более сложные показательные уравнения решаются по следующей схеме:

· Перевести все степени к одинаковому основанию. Желательно, чтобы оно было целым и минимальным. Например, вместо 4 x лучше писать 2² ˣ, а вместо 0,01 x — вообще 10−² ˣ;

· В уравнениях, где есть умножение или деление, надо выполнить эти действия. Помните: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются;

· Если все сделано правильно, получим уравнение вида a f (x) = a g (x), где a — просто число. Его можно отбросить, поскольку показательная функция монотонна. Получим уравнение f (x) = g (x), которое легко решается.

· Помните, что корни — тоже степени, но с дробным основанием:

= ; = ; = = .

Задача. Решите уравнение: 4 x = .

Решение:

Итак, приведем все степени к основанию 2:

4 x = (22) x = 22 x; 1 = 20; 256 = 28.

Теперь перепишем исходное уравнение и выполним деление:

4 x = 22 x = 22 x = 20−8 22 x = 2−8.

Получили простейшее показательное уравнение. Отбрасываем основание — получаем:

2 x = −8 ⇒ x = −4.

Ответ: −4.

Задача: Решите уравнение: 92 x = .

Решение

Снова приводим все степени к наименьшему целому основанию:

92 x = (32)2 x = 34 x; 1 = 30; 27 = 33.

Обратите внимание: число 27 не является целой степенью девятки. Именно поэтому надо приводить все степени к основанию 3, а не 9. Возвращаемся к исходному уравнению:

92 x = 34 x = 34 x = 30−3 34 x = 3−3.

Осталось избавиться от основания степени:

4 x = −3 ⇒ x = −3/4 = −0,75.

Ответ: −0,75.

 

 

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида: sin x=a; cos x=a; tg x=a; ctg x=a, где a – произвольное число.

Решениеуравненияsin x = a

Обычная форма записи решения	x = (–1) n arcsin α + πn, n є Z
Более удобная форма записи решения	x 1 = arcsin α + 2πn, n є Z x 2 = –arcsin α + π + 2πn, n є Z
Ограничения на число a	В случае, когда α [-1;1], уравнение решений не имеет

 

Графическоеобоснованиерешенияуравненияsin x=a:

Частныеслучаирешенияуравненийsin x = а

(неучить,анаходитьпотригонометрическомукругу)

Уравнение	Решение
sin x = 0	x = πn, n є Z
sin x= 1	x = + 2 πn, n є Z
sin x = – 1	x = – + 2 πn, n є Z

 

Решениеуравненияcos x=а:

Обычная форма записи решения	x = ±arccos a + 2π n, n є Z
Более удобная форма записи решения	x 1 = arccos α + 2 πn, n є Z x 2 = –arccos α + 2πn, n є Z
Ограничения на число a	В случае, когда α [-1;1], уравнение решений не имеет

 

Графическоеобоснованиерешенияуравненияcos x=a

Частныеслучаирешенияуравненийcos x = а

(неучить,анаходитьпотригонометрическомукругу)

Уравнение	Решение
cos x = – 1	x = π + 2 πn, n є Z
cos x = 0	x = + πn, n є Z
cos x = 1	x = 2 πn, n є Z

 

Решениеуравненияtg x = а

Обычная форма записи решения	x = arctg a + πn, n є Z
Более удобная форма записи решения	x 1 = arctg α + 2 πn, n є Z; x 2 = arctgα + π + 2 πn, n є Z
Ограничения на число а	Ограничений нет

 

Графическоеобоснованиерешенияуравненияtg x=a

Частныеслучаирешенияуравненийtg x=а

(неучить,анаходитьпотригонометрическомукругу)

Уравнение	Решение
tg x = 0	x = πn, n є Z
tg x = 1	x 1 = + 2 πn, n є Z x 2= + 2 πn, n є Z
tg x = – 1	x 1 = – + 2 πn, n є Z x 2= + 2 πn, n є Z

 

Решениеуравненияctg x=а

Обычная форма записи решения	x = arcctg a + πn, n є Z
Более удобная форма записи решения	x 1 = arcctg α + 2 πn, n є Z x 2= arcctg α+π + 2 πn, n є Z
Ограничения на число a	Ограничений нет

 

Графическоеобоснованиерешенияуравненияctg x = a

Частныеслучаирешенияуравненийctg x = а

(неучить,анаходитьпотригонометрическомукругу)

Уравнение	Решение
ctg x = 0	x= + πn, n є Z
ctg x = 1	x 1 = + 2 πn, n є Z x 2 = + 2 πn, n є Z
ctg x = –1	x 1 = – + 2 πn, n є Z x 2= + 2 πn, n є Z

 

 

Уравнения с модулем

Определение

Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна − а, если а меньше нуля:

│ а │ =

Из определения следует, что для любого действительного числа а, │ а │≥ 0.

Геометрически │ а │означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число а, до начала отсчета.

Если а ≠ 0, то на координатной прямой существует две точки а и − а, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если а = 0, то на координатной прямой │ а │изображается точкой 0.

Графиком функции y = │ x │ является «уголок».

I) Уравнения вида │ f (x) │ = A, A ϵ R решаются следующим образом:

Если A < 0, то корней нет.

Если A = 0, то уравнению │ f (x) │ = A соответствует уравнение f (x) = 0.

Если A > 0, то уравнению │ f (x) │ = A соответствует равносильная совокупность:

II) Уравнения вида │ f (x)│ = g (x) решаются следующим образом:

Способ №1

Уравнению │ f (x)│ = g (x) соответствует равносильная совокупность систем:

Способ №2

Уравнению │ f (x) │ = g (x) соответствует равносильная совокупность систем:

III) Уравнения вида │ f (x) │ = │ g (x) │ решаются следующим образом:

Способ №1

Уравнению │ f (x) │ = │ g (x) │ соответствует равносильное уравнение f 2 (x) = g 2 (x).

Способ №2

Уравнению │ f (x)│ = │ g (x) │ соответствует равносильная совокупность:

IV) Уравнения вида │ f (x) │ = − f (x) и │ f (x) │ = f (x) решаются следующим образом:

Уравнению │ f (x) │ = − f (x) соответствует равносильное неравенство f (x) ≤ 0.

Уравнению │ f (x) │ = f (x) соответствует равносильное неравенство f (x) ≥ 0.

V) Общая схема решения уравнений содержащих знак модуль.

Например:

│ x 2 − 1│ + │ x 2 − 4│ = 3.

Найдем нули выражений, стоящих под знаком модуль.

x = ±1, x = ±2.

И раскроем модуль на каждом из 5 промежутков, на которые оказалась разделена числовая ось числами x = ±1, x = ±2.

I) ⇔

(−∞; −2] — промежуток, значит в ответ попадает только решение x = −2.

II) ⇔

В ответ будет входить весь промежуток.

III) ⇔

Оба решения попадают в рассматриваемый промежуток.

IV) ⇔

В ответ будет входить весь промежуток.

V) ⇔

[2; +∞) — промежуток, т. е. подходит решение x = 2.

Ответ: [−2; −1] [1; 2].

 

 

Формулы тригонометрии