Дробно-рациональное уравнение

Уравнение называется дробно-рациональным, если в этом уравнении есть деление на выражение, содержащее переменную x.

Замечание: сравните с примером 2 в линейных уравнениях, где в знаменателях только числа.

Примеры дробно-рационального уравнения:

x + = 5 x – 17;

+ = 5.

Дробно- рациональные уравнения обычно решаются следующим образом:

· определяем значения переменных, при которых любой из знаменателей обращается в ноль, другими словами, находим область допустимых значений уравнения (ОДЗ);

· находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения;

· решаем получившееся уравнение;

· исключаем из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель дробей, т. е. не подходят по ОДЗ.

Пример:

Решить дробно-рациональное уравнение: + = .

При значениях x = 0, x = 5 получаем деление на ноль, чего быть не может, значит, эти числа не могут быть ответом в данной задаче, т. е. не входят в ОДЗ.

Находим общий знаменатель ― это x (x – 5). Домножим на него обе части уравнения:

∙ x (x – 5) + ∙ x (x – 5) = ∙ x (x – 5).

Сделаем преобразования и решим получившееся уравнение:

x (x – 3) + (x – 5) + x + 5;

x 2 – 3 x + x – 5 = x + 5;

x 2 – 3 x + x – 5 – x – 5 = 0;

x 2 – 3 x – 10 = 0.

Решите это квадратное уравнение сами. Корни получаются: –2 и 5.

Проверим, являются ли эти числа корнями исходного уравнения.

При x = –2 общий знаменатель x (x – 5) не обращается в нуль. Значит, –2 является корнем исходного уравнения.

При x = 5 общий знаменатель обращается в нуль, и два выражения из трех теряют смысл. Значит, число 5 не является корнем исходного уравнения.

Ответ: –2.

Замечание: после нахождения корня уравнения, его всегда можно подставить в исходное уравнение и получить верное равенство. Проделайте это для всех рассмотренных примеров.

 

 

Стeпени

Этот урок посвящен степеням и корням. Вначале мы обсудим понятия степень и кореньи как с ними работать. Далее рассмотрим ряд свойств, на знании которых, в основном, и базируется правильная работа с заданиями из этой темы. Ну и конечно, для лучшего понимания, подкрепим все примерами.

Выражение an называется степенью. В этом выражении число a называется основанием степени, а число n ― показателем степени.

Например, степень 35, имеет основание степени равное 3, а показатель степени равен 5. Это число можно получить, если мы умножим число 3 само на себе 5 раз, т. е. 35 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3.

Для положительных чисел a и b и чисел n и m справедливы следующие свойства степени:

1) a 0 = 1.

Любое число в нулевой степени равно 1.

2) a 1 = a.

Степенью числа с показателем 1 называется само это число.

3) an ∙ am = an+m.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается прежним, а показатели складываются.

4) = an-m.

При делении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается прежним, а показатели вычитаются.

5) (ab) n = an ∙ bn.

При возведении в степень произведения, в эту степень возводится каждый множитель.

6) = .

При возведении в степень дроби в эту степень возводится числитель дроби и знаменатель.

7) (an) m = an∙m.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

8) a-n = = .

При возведении в отрицательную степень, основание степени «переворачивается», и знак показателя степени меняется на противоположный.

Пример 1:

Применим свойство 3.

= 35-3 = 32 = 9.

Пример 2:

Применим свойство 6.

= = 23 = 8.

Пример 3:

Применим свойство 8.

4-2 = = .

 

 

Кoрни

Корнем n -ой степени n√a из числа a называется число, n -я степень которого равна a. Натуральное число n называется показателем корня. Число a называется подкоренным выражением.

Замечание: степень корня ― это натуральное число, большее 1.

Корень второй степени √a называется квадратным корнем и двойка обычно опускается. Корень третьей степени 3 √a называется кубическим корнем.

Выделяют корни четной степени (n ― четное) и корни нечетной степени (n ― нечетное):

· Корень нечетной степени из положительного числа ― обязательно положительноечисло.

n√a = b, где a, b > 0, n ― нечетное.

Пример: 3√8 = 2, 5√32 = 2, 12√1 = 1.

· Корень нечётной степени из отрицательного числа ― отрицательное число, однозначно определенное.

n√a = b, где a, b < 0, n ― нечетное.

Пример: 3√–8 = –2, 5√–243 = –3, 9√–1 = –1.

· Корень чётной степени берется только из положительного числа.

n√a = b, где a, b > 0, n ― четное;

n√a не существует, если а < 0, n ― четное.

Пример: √16 = 4, 4√81 = 3, 14√1 = 1.

Для положительных чисел a и b и чисел n и m справедливы следующие свойства корня:

1) n√an = a;

2) n√a ∙ n√b = n√ab;

3) = ;

4) n√am = (n√a) m;

5) = nm√a;

6) n√am = am/n.

Замечание: шестое свойство показывает, что на самом деле корень любой степени ―это не что иное как степень числа, работу с которыми мы обсуждали в первой части этого урока. Значит, залог успешной работы в теме «корни» полностью основывается на правильной работе в теме «степени».

Для корня четной степени (n ― четное) справедливы ещё ряд свойств (a, b ― любые числа):

1) n√an = a;

2) n√ab = ∙ ;

3) = .

Пример 1:

Применим свойство 1 и 2.

3√2 ∙ 3√32 = 3√64 = 3√43 = 4.

Пример 2:

Применим свойство 3.

= = = = .

Пример 3:

Применим свойство 4 и 6.

43/2 = √43 = (√4)3 = 23 = 8.

Мы рассмотрели две, в общем-то, технические темы и познакомились не только с понятиями, которые здесь используются, но и с основными свойствами степеней и корней, необходимыми для решения задач. На этом можно поставить запятую в освоении этих тем, а для того чтобы она стала точкой, необходимо закрепить навыки работы со степенями и корнями на упражнениях, которые мы вам подготовили.

 

Введение в стереометрию

Стереометрией называют раздел геометрии, в котором изучают свойства пространственных фигур. Простейшими фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.