Построение графика с помощью производной

План:

1) Найти область определения функции.

2) Исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность.

3) Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4) Промежутки знак постоянства.

5) Нахождение производной.

6) Промежутки монотонности.

7) Найти точки экстремума, значение функции в этих точках.

8) По найденным точкам построить график функции.

 

 

Комбинации с окружностью

Вписанные и описанные окружности

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с, равен: r = .

Если прямая, проходящая через точку A и центр О вписанной окружности треугольника AВС, вторично пересекает описанную окружность треугольника в точке М, то треугольники ВОМ и СОМ равнобедренные.

Формула Эйлера. Если О1и O 2 — центры вписанной и описанной окружностей треугольника AВС, а r и R — радиусы этих окружностей, то О1О2 = .

Если вписанная окружность касается сторон АВ и АС треугольника АВС в точках М и N, а Р — точка пересечения прямой МN с биссектрисой угла В, то ВРС = 90º.

Теорема Птолемея. Сумма произведений противоположных сторон вписанного четырёхугольника равна произведению его диагоналей.

AC · BD = AB · CD + BC · AD.

 

 

Метод рационализации

Метод «рационализации» заключается в замене сложного выражения F (x) на более простое выражение G (x), при которой неравенство G (x) ˅ 0 равносильно неравенству F (x) ˅ 0 в области определения выражения F (x).

В таблице представлены некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, в которых f, g, h, p, q ― выражения с переменной x (h > 0; h ≠ 1; f > 0; g > 0) и а ― фиксированное число (a > 0; a ≠ 1).

Выражение F	Выражение G
log a ƒ − logₐ g log a ƒ − l log a ƒ	(a – 1)(f – g) (a – 1)(f – a) (a – 1)(f − 1)
log fh – log gh (g ≠ 1; f ≠ 1)	(f – 1)(g − 1)(h – 1)(g – f)
hf – hg (h > 0) hf – 1	(h – 1)(f – g) (h – 1) f
fh – gh (f > 0; g > 0)	(f – g) h
| f | – | g |	(f – g)(f + g)

Некоторые следствия (с учетом области определения):

log hf ∙ log pq ˅ 0 ⇔ (h – 1)(f – 1)(p – 1)(q – 1) ˅ 0;

log hf ∙ log pg ˅ 0 ⇔ (fg – 1)(h – 1) ˅ 0;

√ f – √ g ˅ 0 ⇔ f – g ˅ 0;

˅ 0 ⇔ ˅ 0.

Неравенства

Мы уже познакомились с рациональными уравнениями, формулами сокращённого умножения и тождествами в целом. У них существует младшие братья ― неравенства. Но, в отличие от старших братьев, младших зачастую недолюбливают и относятся к ним настороженно. Хотя, если знать правильный подход, общение с ними может стать лёгким и непринуждённым.

Но вначале ― официальное знакомство.

Неравенства могут обозначаться четырьмя способами:

· > (читается как “больше”).

Пример: х > 2. В этом случае решением будут любые х, большие двух (то есть от двух до плюс бесконечности, не включая 2).

· < (читается как “меньше”).

Пример: х < 9. В этом случае решением будут любые х, меньшие девяти (то есть от минус бесконечности до девяти, не включая девять).

· ≥ (читается как “больше или равно”).

Пример: x ≥ 5. В этом случае решением будут любые х, большие или равные пяти (то есть от пяти и до плюс бесконечности, включая пять).

· ≤ (читается как “меньше или равно”).

Пример: х ≤ 11. В этом случае решением будут любые х, меньшие или равные одиннадцати (то есть от минус бесконечности и до 11, включая 11).

Наверняка вы уже успели заметить важное отличие первых двух типов неравенств. Подобные неравенства называются строгими ― они очень критично относятся к окружающим, и поэтому не включают в решение значение, относительно которого строятся (в наших примерах это числа 2 и 9, соответственно). В свою очередь, два оставшихся типа неравенств являются нестрогими и с удовольствием берут в решение и те точки, относительно которых строятся они (в наших примерах это точки 5 и 11, соответственно).

Раз мы узнали поближе обычные неравенства, то стоит сказать пару слов и про двойные неравенства. Если просто неравенства накладывают условия только с одной стороны (или, если давать геометрическую интерпретацию, представляют из себя луч), то двойные неравенства вносят ограничения с двух сторон (и геометрически являются отрезком). Естественно, включение или не включение границы луча (в случае обычного неравенства) или границ отрезка (в случае двойного неравенства) зависит от строгости или нестрогости неравенств.

Пример: 4 < х ≤ 12. Решением такого неравенства будут любые значения х от четырёх (не включая четвёрку) и до 12 (включая двенадцать).

Теперь самое время поговорить о тех самых правилах, которые облегчат ваше общение с неравенствами. Вот они:

· В одиночных и двойных неравенствах можно прибавить/отнять слева и справа одинаковое число, а также умножить/разделить на любое положительное число. От таких процедур знак неравенства не изменится.

Пример: 12 х – 5 < 7;

12 х – 5 + 5 < 7 + 5;

12 х < 12;

х < 1.

· При умножении/делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Пример: –7 х < 14;

– х < 2;

x > –2.

· В неравенствах (как и в тождествах) можно переносить переменные/числа из одной стороны в другую. Не забывайте при этом менять знак переменных/чисел (но не неравенства!).

Пример: х + 5 > 0;

х > –5.

Вот и всё! Следуя этим трём правилам, можно добиться отличного взаимопонимания с простейшими неравенствами, а впоследствии и с их сложными вариациями. Очень важно закрепить полученные знания на проверочных заданиях. До встречи на следующем уроке!

 

 

Окружность и круг

Из всех фигур в геометрии, круг ― самая необычная фигура, ведь здесь нам постоянно приходится говорить о бесконечности, что определенно добавляет таинственности этой фигуре. Например, в треугольнике очень легко посчитать количество сторон, количество высот, количество биссектрис, в окружности же количество радиусов ― бесконечность, количество диаметров ― бесконечность, количество касательных ― бесконечность. Возможно, именно поэтому ученики так не любят задания с окружностью. Но все не так страшно. Чтобы справиться с этой таинственностью, достаточно знать ряд основных теорем, которые вы найдете в этом блоке.

Начнем с определения фигуры и ее основных элементов.

Окружность ― множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки на плоскости (то есть замкнутая линия).

Круг ― часть плоскости, ограниченная окружностью (то есть площадь).

 

 

Элементы окружности

Центр окружности ― точка O.

Радиус окружности (r) ― отрезок, соединяющий точку окружности с центром. Все радиусы одной окружности равны.

Хорда (AB) ― отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Диаметр (d) ― хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр равен двум радиусам.

 

 

Касательная к окружности

Касательная ― прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания	Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны до точек касания